💡 10. Sınıf Matematik: Küresel fonksiyonu Çözümlü Örnekler

Fonksiyonlarda bir değer bulmak için değişken yerine istenen sayı yazılır:

• Verilen fonksiyon: \( f(x) = 3x - 7 \)
• Bizden istenen: \( f(5) \)
• Fonksiyonda \( x \) gördüğümüz her yere \( 5 \) yazalım:
• \( f(5) = 3 \times 5 - 7 \)
• \( f(5) = 15 - 7 \)
• \( f(5) = 8 \)

✅ Sonuç: 8

Birim fonksiyonun kuralı \( f(x) = x \) olmasıdır. Yani içi neyse dışı da o olmalıdır.

• \( f(x) = x \) olması için \( x \)'li terimin katsayısı \( 1 \), sabit terim ise \( 0 \) olmalıdır.
• \( a - 3 = 1 \) ise \( a = 4 \) olur.
• \( b + 4 = 0 \) ise \( b = -4 \) olur.
• Bizden istenen: \( a \times b \)
• \( 4 \times (-4) = -16 \)

✅ Sonuç: -16

Rasyonel biçimdeki bir fonksiyonun sabit fonksiyon olması için aynı dereceli terimlerin katsayıları oranının birbirine eşit olması gerekir.

• Kural: \( \frac{x \text{ katsayısı}}{x \text{ katsayısı}} = \frac{\text{sabit}}{\text{sabit}} \)
• \( \frac{a}{2} = \frac{12}{4} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım:
• \( 4a = 2 \times 12 \)
• \( 4a = 24 \)
• \( a = 6 \)

✅ Sonuç: 6

Doğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır.

• \( f(1) = a \times 1 + b = 7 \Rightarrow a + b = 7 \)
• \( f(2) = a \times 2 + b = 10 \Rightarrow 2a + b = 10 \)
• Bu iki denklemi ortak çözelim. Alttaki denklemden üsttekini çıkarırsak:
• \( (2a + b) - (a + b) = 10 - 7 \)
• \( a = 3 \) bulunur.
• \( a + b = 7 \) denkleminde yerine yazalım: \( 3 + b = 7 \Rightarrow b = 4 \)
• Fonksiyonumuz: \( f(x) = 3x + 4 \)
• İstenen değer: \( f(4) = 3 \times 4 + 4 = 16 \)

✅ Sonuç: 16

Bileşke fonksiyonda sağdaki fonksiyon, soldaki fonksiyonda \( x \) yerine yazılır.

• \( (fog)(x) = f(g(x)) \)
• \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) \) yazalım:
• \( f(g(x)) = 2(g(x)) + 3 \)
• \( g(x) = x - 1 \) değerini yerine koyalım:
• \( 2(x - 1) + 3 \)
• Parantezi dağıtalim: \( 2x - 2 + 3 \)
• Düzenleyelim: \( 2x + 1 \)

✅ Sonuç: 2x + 1

Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliğinde \( x \) yalnız bırakılır ve sonra \( x \) ile \( y \) yer değiştirilir.

• \( y = 4x - 8 \)
• \( -8 \) karşıya \( +8 \) olarak geçer: \( y + 8 = 4x \)
• Her iki tarafı \( 4 \)'e bölelim: \( x = \frac{y + 8}{4} \)
• Şimdi \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine \( x \) yazalım:
• \( f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{4} \)

✅ Sonuç: (x + 8) / 4

Bu durum bir doğrusal fonksiyon modelidir.

• Sabit ücret (başlangıç): \( 20 \) TL
• Değişken ücret (km başına): \( 10 \times x \)
• Fonksiyon: \( f(x) = 10x + 20 \)
• \( 15 \) km için \( x = 15 \) yazalım:
• \( f(15) = 10 \times 15 + 20 \)
• \( f(15) = 150 + 20 \)
• \( f(15) = 170 \)

✅ Sonuç: 170 TL

Fonksiyonu analiz ederek soruları cevaplayalım:

• Başlangıçtaki su miktarı: Zamanın sıfır olduğu an demektir (\( t = 0 \)).
• \( f(0) = 5 \times 0 + 10 = 10 \) litredir.
• 20. dakikadaki su miktarı: \( t = 20 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım.
• \( f(20) = 5 \times 20 + 10 \)
• \( f(20) = 100 + 10 = 110 \) litredir.

✅ Sonuç: Başlangıçta 10 litre, 20. dakikada 110 litre su bulunur.