Küresel fonksiyonu Ders Notu

Fonksiyon Kavramı ve Tanımı 🧮

Matematikte fonksiyonlar, iki küme arasındaki ilişkiyi belirleyen özel kurallardır. Bir A kümesindeki her bir elemanı, B kümesindeki yalnız bir elemanla eşleyen kurala fonksiyon denir. Fonksiyonlar genellikle f, g, h gibi harflerle gösterilir. A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir.

Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:

• Tanım kümesinde boşta eleman kalmamalıdır.
• Tanım kümesindeki her bir eleman, değer kümesinde sadece bir elemana gitmelidir.

Önemli Not: Tanım kümesindeki bir eleman, değer kümesindeki iki farklı elemana aynı anda gidemez. Ancak değer kümesindeki bir elemana tanım kümesinden birden fazla eleman gidebilir.

Fonksiyonlarda Gösterim ve İşlem 📝

A kümesinden B kümesine tanımlı bir f fonksiyonu \( f: A \rightarrow B \) şeklinde gösterilir. x elemanı A kümesinden, y elemanı B kümesinden olmak üzere fonksiyon \( y = f(x) \) biçiminde ifade edilir. Burada x bağımsız değişken, y ise bağımlı değişkendir.

Çözümlü Örnekler 💡

Örnek 1: A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c} kümeleri verilsin. Aşağıdaki eşlemelerden hangisi bir fonksiyondur?

• f = {(1, a), (2, b)}
• g = {(1, a), (2, b), (3, a)}
• h = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, a)}

Çözüm:

• f bağıntısı bir fonksiyon değildir, çünkü tanım kümesindeki 3 elemanı açıkta kalmıştır.
• g bağıntısı bir fonksiyondur, çünkü tanım kümesindeki her eleman B kümesinde tam olarak bir elemana eşlenmiştir.
• h bağıntısı bir fonksiyon değildir, çünkü tanım kümesindeki 1 elemanı hem a'ya hem de b'ye gitmiştir.

Örnek 2: \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonu veriliyor. \( f(4) \) değerini bulunuz.

Çözüm: x gördüğümüz yere 4 yazarak işlemi yaparız:

f(4) \( = 3 \times 4 - 5 \)

f(4) \( = 12 - 5 \)

f(4) \( = 7 \)

Günlük Yaşamdan Fonksiyon Örnekleri 🌍

Fonksiyonlar günlük hayatta pek çok alanda karşımıza çıkar. Örneğin, bir marketteki her ürünün barkodu ile o ürünün fiyatı arasında bir fonksiyon ilişkisi vardır. Her barkod numarası (tanım kümesi) tek bir fiyat değerine (değer kümesi) karşılık gelir. Bir başka örnek ise bir aracın aldığı yolun, geçen süreye bağlı olmasıdır. Sabit hızla giden bir araç için yol = hız \( \times \) zaman formülü bir fonksiyon modellemesidir.

Fonksiyon Türleri ve Özellikleri 📊

Fonksiyonlar, değer kümesindeki elemanların eşlenme biçimlerine göre sınıflandırılır:

Tür	Özellik
İçine	Değer kümesinde boşta eleman kalır.
Örten	Değer kümesinde boşta eleman kalmaz.
Birebir	Her eleman farklı bir elemana gider.

Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı her x1 ve x2 elemanı için \( f(x1) \neq f(x2) \) şartı sağlanmalıdır. Eğer bir fonksiyon hem birebir hem de örten ise bu fonksiyona birebir ve örten fonksiyon denir.