💡 10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık ile çıkarım yapabilme Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Koşullu olasılık ile çıkarım yapabilme Çözümlü Örnekler
Hilesiz bir zar havaya atılıyor. Zarın üst yüzüne gelen sayının çift sayı olduğu bilindiğine göre, bu sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır? 🎲
Bu soruda bir koşul verilmiştir. Koşullu olasılık formülünü veya örnek uzayı daraltma yöntemini kullanabiliriz.
- Adım 1: Zar atıldığında tüm olası sonuçlar (Örnek Uzay): \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)
- Adım 2: Verilen koşul (B olayı), sayının çift olmasıdır: \( B = \{2, 4, 6\} \). Bu durumda yeni örnek uzayımızın eleman sayısı \( n(B) = 3 \) olur.
- Adım 3: İstenen durum (A olayı), sayının asal olmasıdır. \( B \) kümesi içindeki asal sayıları bulmalıyız: \( A \cap B = \{2\} \). Bu durumda eleman sayısı \( n(A \cap B) = 1 \) olur.
- Adım 4: Koşullu olasılık hesaplanır: \[ P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} \] \[ P(A|B) = \frac{1}{3} \]
✅ Cevap: Zarın çift geldiği biliniyorsa asal olma olasılığı \( \frac{1}{3} \) olarak bulunur.
Bir torbada 4 kırmızı ve 6 beyaz bilye bulunmaktadır. Torbadan geri konulmamak şartıyla art arda iki bilye çekiliyor. Birinci bilyenin kırmızı olduğu bilindiğine göre, ikinci bilyenin de kırmızı olma olasılığı kaçtır? 🔴
Birinci bilyenin rengi bilindiği için torbadaki kalan bilyeler üzerinden işlem yaparız.
- Adım 1: Başlangıçta torbadaki toplam bilye sayısı: \( 4 + 6 = 10 \).
- Adım 2: Birinci bilyenin kırmızı olduğu biliniyor. Bu bilye dışarıda kaldığı için torbada kalan bilye sayıları:
Kırmızı bilye sayısı: \( 4 - 1 = 3 \)
Beyaz bilye sayısı: 6
Toplam bilye sayısı: \( 3 + 6 = 9 \) - Adım 3: İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı, kalan kırmızı bilye sayısının toplam bilye sayısına oranıdır: \[ P = \frac{3}{9} \] \[ P = \frac{1}{3} \]
✅ Cevap: İkinci bilyenin kırmızı olma olasılığı \( \frac{1}{3} \) olur.
Bir sınıftaki öğrencilerin 15'i erkek, 10'u kızdır. Erkeklerin 5'i, kızların ise 4'ü gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? 👓
Verilen bilgileri bir tablo gibi düşünerek çözelim:
- Adım 1: Toplam gözlüklü öğrenci sayısını bulalım:
Gözlüklü Erkek = 5
Gözlüklü Kız = 4
Toplam Gözlüklü (Koşul) = \( 5 + 4 = 9 \) - Adım 2: İstenen durum, gözlüklü olanlar arasından erkek olanlardır.
İstenen eleman sayısı = 5 - Adım 3: Olasılık değerini hesaplayalım: \[ P = \frac{5}{9} \]
✅ Cevap: Seçilen gözlüklü öğrencinin erkek olma olasılığı \( \frac{5}{9} \) olur.
İki adet hilesiz zar aynı anda atılıyor. Üst yüze gelen sayıların toplamının 9 olduğu bilindiğine göre, zarlardan birinin 6 gelmiş olma olasılığı kaçtır? 🎲🎲
Koşul, toplamın 9 olmasıdır. Bu duruma uygun tüm ikilileri yazalım.
- Adım 1: Toplamı 9 olan tüm durumlar (Koşul kümesi):
\( B = \{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)\} \)
Eleman sayısı: \( n(B) = 4 \) - Adım 2: Bu durumlar içinden en az bir tanesi 6 olanları seçelim (İstenen durum):
\( A \cap B = \{(3,6), (6,3)\} \)
Eleman sayısı: \( n(A \cap B) = 2 \) - Adım 3: Olasılığı hesaplayalım: \[ P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
✅ Cevap: Toplam 9 ise zarlardan birinin 6 olma olasılığı \( \frac{1}{2} \) (%50) olur.
Bir akıllı telefon uygulama mağazasındaki kullanıcıların 60% 'ı A uygulamasını, 40% 'ı ise B uygulamasını indirmektedir. A uygulamasını indirenlerin 10% 'u, B uygulamasını indirenlerin 20% 'si uygulamaya tam puan vermiştir. Uygulamaya tam puan verdiği bilinen bir kullanıcının A uygulamasını indirmiş olma olasılığı kaçtır? 📱
Bu tür sorularda toplam kullanıcı sayısını 100 kişi kabul etmek işlemleri kolaylaştırır.
- Adım 1: Toplam kullanıcı = 100 olsun.
A indirenler = 60 kişi
B indirenler = 40 kişi - Adım 2: Tam puan verenleri hesaplayalım:
A'ya tam puan verenler = \( 60 \times 0.10 = 6 \) kişi
B'ye tam puan verenler = \( 40 \times 0.20 = 8 \) kişi
Toplam tam puan verenler (Koşul) = \( 6 + 8 = 14 \) kişi - Adım 3: Tam puan verenler içinden A uygulamasını kullananların oranını bulalım: \[ P = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \]
✅ Cevap: Tam puan veren birinin A uygulamasını kullanıyor olma olasılığı \( \frac{3}{7} \) olur.
Bir fabrikada üretilen ürünlerin 70% 'i birinci makinede, 30% 'u ikinci makinede üretilmektedir. Birinci makineden çıkan ürünlerin 2% 'si, ikinci makineden çıkan ürünlerin 5% 'i kusurludur. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olduğu bilindiğine göre, bu ürünün ikinci makinede üretilmiş olma olasılığı kaçtır? 🏭
Yine toplam ürün sayısını 100 birim alarak ilerleyelim.
- Adım 1: Üretim miktarları:
1. Makine = 70 ürün
2. Makine = 30 ürün - Adım 2: Kusurlu ürün sayıları:
1. Makine kusurlu = \( 70 \times 0.02 = 1.4 \)
2. Makine kusurlu = \( 30 \times 0.05 = 1.5 \)
Toplam kusurlu ürün (Koşul) = \( 1.4 + 1.5 = 2.9 \) - Adım 3: Kusurlu ürünün 2. makineden gelme olasılığı:
\[ P = \frac{1.5}{2.9} \]
Virgülleri kaydırırsak:
\[ P = \frac{15}{29} \]
✅ Cevap: Kusurlu ürünün ikinci makinede üretilmiş olma olasılığı \( \frac{15}{29} \) olur.
İki torbadan birincisinde 2 mavi, 3 yeşil; ikincisinde 4 mavi, 2 yeşil top vardır. Rastgele bir torba seçiliyor ve içinden bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olduğu bilindiğine göre, bu topun birinci torbadan çekilmiş olma olasılığı kaçtır? 🔵🟢
Bu soru, koşullu olasılığın daha karmaşık bir uygulamasıdır. Torba seçimi de bir olasılıktır.
- Adım 1: Torba seçme olasılıkları: \( P(T1) = \frac{1}{2} \) ve \( P(T2) = \frac{1}{2} \).
- Adım 2: Toplam mavi çekme olasılığını bulalım:
1. Torbadan mavi: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \)
2. Torbadan mavi: \( \frac{1}{2} \times \frac{4}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)
Toplam Mavi Olasılığı = \( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3+5}{15} = \frac{8}{15} \) - Adım 3: Birinci torbadan gelmiş olma olasılığı: \[ P = \frac{\text{1. Torbadan Mavi Gelme Olasılığı}}{\text{Toplam Mavi Gelme Olasılığı}} \] \[ P = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{8}{15}} = \frac{1}{5} \times \frac{15}{8} = \frac{3}{8} \]
✅ Cevap: Mavi topun birinci torbadan gelmiş olma olasılığı \( \frac{3}{8} \) olarak hesaplanır.
Bir okulda öğrencilerin 40% 'ı basketbol, 60% 'ı voleybol oynamaktadır. Basketbol oynayanların 50% 'si, voleybol oynayanların 25% 'i erkektir. Rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin voleybol oynuyor olma olasılığı kaçtır? 🏐🏀
Verilen yüzdeleri 100 öğrenci üzerinden değerlendirelim:
- Adım 1: Öğrenci dağılımı:
Basketbol oynayanlar = 40 kişi
Voleybol oynayanlar = 60 kişi - Adım 2: Erkek öğrenci sayıları:
Basketbolcu erkekler = \( 40 \times 0.50 = 20 \) kişi
Voleybolcu erkekler = \( 60 \times 0.25 = 15 \) kişi
Toplam erkek öğrenci (Koşul) = \( 20 + 15 = 35 \) kişi - Adım 3: Erkekler içinden voleybol oynayanların oranı:
\[ P = \frac{15}{35} \]
Sadeleştirme yaparsak (her iki tarafı 5'e bölelim):
\[ P = \frac{3}{7} \]
✅ Cevap: Seçilen erkek öğrencinin voleybol oynuyor olma olasılığı \( \frac{3}{7} \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-kosullu-olasilik-ile-cikarim-yapabilme/sorular