Koşullu olasılık ile çıkarım yapabilme Ders Notu

Koşullu Olasılık Nedir? 🎲

Bir örnek uzayda iki olay düşünelim. Bu olaylardan birinin gerçekleştiği bilindiğinde, diğerinin gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir. Günlük hayatta sıkça karşılaştığımız "Bir zar atıldığında gelen sayının çift olduğu biliniyorsa, bu sayının 4'ten büyük olma olasılığı nedir?" gibi sorular, koşullu olasılığın temelini oluşturur.

A ve B, bir E örnek uzayına ait iki olay olsun. B olayının gerçekleştiği bilindiğinde A olayının gerçekleşme olasılığı \( P(A|B) \) sembolü ile gösterilir ve şu formülle hesaplanır:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Burada \( P(B) > 0 \) olmalıdır. Bu formülde \( P(A \cap B) \), hem A hem de B olayının gerçekleşme olasılığını, \( P(B) \) ise B olayının gerçekleşme olasılığını ifade eder.

Örnek 1: Zar Atma Deneyi 🎲

Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek sayı olduğu biliniyorsa, bu sayının 3 olma olasılığını hesaplayalım.

• Örnek uzay E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• B olayı (Tek gelmesi): {1, 3, 5} -> \( P(B) = \frac{3}{6} \)
• A olayı (3 gelmesi): {3}
• A ve B olayının kesişimi (Hem tek hem 3 olması): {3} -> \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \)

Koşullu olasılık formülünü uyguladığımızda:

\[ P(A|B) = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3} \]

Örnek 2: Sınıf İçi Dağılım 🏫

Bir sınıfta 12 kız ve 8 erkek öğrenci vardır. Kız öğrencilerin 4'ü, erkek öğrencilerin 2'si gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre, bu öğrencinin kız olma olasılığını bulalım.

İpucu: Koşullu olasılıkta örnek uzayımız artık tüm sınıf değil, sadece "gözlüklü öğrenciler" kümesidir.

Verileri tablo gibi düşünerek ayıralım:

• Gözlüklü kız sayısı: 4
• Gözlüklü erkek sayısı: 2
• Toplam gözlüklü öğrenci sayısı: \( 4 + 2 = 6 \)

Seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız 6'dır. Bu 6 kişi arasından kız olma durumu 4'tür. O halde olasılık:

\[ P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

Bağımlı ve Bağımsız Olaylar 🔗

İki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir. Eğer birinin gerçekleşmesi diğerinin olasılığını etkiliyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir.

• Bir madeni paranın havaya atılması ile bir zarın atılması bağımsız olaylardır.
• Bir torbadan çekilen topun geri atılmadan ikinci topun çekilmesi bağımlı olaydır.

Bağımsız olaylar için \( P(A|B) = P(A) \) eşitliği geçerlidir. Yani B olayının gerçekleşmiş olması, A olayının olasılığını değiştirmez.