Koşullu olasılık, analitik geometri, fonksiyonlarda eşitsizlik ve denklemler Ders Notu

🔍 Koşullu Olasılık

Bir örnek uzayda iki olay A ve B olsun. B olayının gerçekleştiği bilindiğine göre, A olayının gerçekleşme olasılığına A'nın B'ye bağlı koşullu olasılığı denir ve \( P(A|B) \) ile gösterilir. Bu olasılık şu formül ile hesaplanır:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] (Burada \( P(B) > 0 \) olmalıdır.)

Örnek: Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematik dersinden, %40'ı fizik dersinden geçmiştir. Her iki dersten de geçenlerin oranı %20'dir. Matematik dersinden geçtiği bilinen bir öğrencinin fizik dersinden de geçmiş olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: A olayı matematik, B olayı fizik olsun. \( P(A) = 0.60 \), \( P(B) = 0.40 \), \( P(A \cap B) = 0.20 \). İstenen durum \( P(B|A) \) değeridir.

\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.20}{0.60} = \frac{1}{3} \]

📍 Analitik Geometri

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor bağıntısından türetilmiştir. \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık \( |AB| \) şu formülle bulunur:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Bir doğru parçasının orta noktası \( M(x, y) \) ise koordinatları uç noktaların aritmetik ortalamasıdır:

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Örnek: \( A(2, 3) \) ve \( B(6, 9) \) noktalarının orta noktasını bulalım.

\( x = (2 + 6) \div 2 = 4 \)
\( y = (3 + 9) \div 2 = 6 \)
Orta nokta \( M(4, 6) \) olur.

📈 Fonksiyonlarda Eşitsizlik ve Denklemler

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği olan parabol, \( f(x) = ax^2 + bx + c \) biçimindedir. Fonksiyonun işaretini incelemek için kökler bulunur ve tablo yöntemi kullanılır.

Eşitsizlik Çözüm Adımları:

İfadeyi \( f(x) \geq 0 \) veya \( f(x) \leq 0 \) formuna getir.
Denklemin köklerini bul (\( \Delta = b^2 - 4ac \)).
Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosu oluştur.
Baş katsayı olan \( a \) değerinin işaretine göre en sağdan başlayarak işaretle.

Örnek: \( x^2 - 5x + 6 < 0 \) eşitsizliğini çözelim.

Çözüm: İfadeyi çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2)(x - 3) < 0 \). Kökler \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) değerleridir. Tabloda 2 ile 3 arasındaki değerler için ifade negatif sonuç verir. Bu nedenle çözüm kümesi \( (2, 3) \) aralığıdır.

Önemli Not: Eğer eşitsizlikte \( \leq \) veya \( \geq \) sembolleri varsa, kökler çözüm kümesine dahil edilir ve köşeli parantez kullanılır.