🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Kareköklü Fonksiyonlarda Öteleme Ve Simetri (f(x)=\sqrt{x+r}+k Formu) Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Kareköklü Fonksiyonlarda Öteleme Ve Simetri (f(x)=\sqrt{x+r}+k Formu) Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Örnek 1: Temel Öteleme Uygulaması
Verilen \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 3 birim sağa ve y ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyonun denklemini yazınız. Ayrıca bu yeni fonksiyonun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.
Verilen \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, x ekseni boyunca 3 birim sağa ve y ekseni boyunca 2 birim yukarı ötelendiğinde oluşan yeni fonksiyonun denklemini yazınız. Ayrıca bu yeni fonksiyonun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm:
Yeni fonksiyonu bulmak için öteleme kurallarını uygulayalım:
- 👉 Bir fonksiyonun grafiğini x ekseni boyunca sağa \( r \) birim ötelemek için \( x \) yerine \( (x-r) \) yazılır. Bu durumda \( r=3 \) olduğu için \( x \) yerine \( (x-3) \) yazacağız.
- 👉 Bir fonksiyonun grafiğini y ekseni boyunca yukarı \( k \) birim ötelemek için fonksiyonun ifadesine \( k \) eklenir. Bu durumda \( k=2 \) olduğu için \( +2 \) ekleyeceğiz.
- ✅ Bu dönüşümler sonucunda, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu \( g(x) = \sqrt{x-3} + 2 \) haline gelir.
- Tanım Kümesi: Kareköklü ifadelerin içi negatif olamaz. Bu yüzden \( x-3 \ge 0 \) olmalıdır. Buradan \( x \ge 3 \) elde ederiz. Yani tanım kümesi \( [3, \infty) \) aralığıdır.
- Görüntü Kümesi: \( \sqrt{x-3} \) ifadesi her zaman \( 0 \) veya pozitif bir değer alır (yani \( \sqrt{x-3} \ge 0 \)). Fonksiyonun tamamı \( \sqrt{x-3} + 2 \) olduğu için, alabileceği en küçük değer \( 0+2=2 \) olacaktır. Dolayısıyla görüntü kümesi \( [2, \infty) \) aralığıdır.
Örnek 2:
💡 Örnek 2: Grafiği Verilen Fonksiyonun Denklemini Bulma
Başlangıç noktası \( (4, -1) \) olan ve sağa doğru yukarı yönelen bir kareköklü fonksiyonun denklemi \( f(x) = \sqrt{x+r} + k \) biçimindedir. Bu fonksiyonun denklemini bulunuz ve \( x=8 \) için fonksiyonun değerini hesaplayınız.
Başlangıç noktası \( (4, -1) \) olan ve sağa doğru yukarı yönelen bir kareköklü fonksiyonun denklemi \( f(x) = \sqrt{x+r} + k \) biçimindedir. Bu fonksiyonun denklemini bulunuz ve \( x=8 \) için fonksiyonun değerini hesaplayınız.
Çözüm:
Verilen bilgilerle fonksiyonun denklemini adım adım oluşturalım:
- 👉 Kareköklü bir fonksiyonun başlangıç noktası \( (-r, k) \) olarak ifade edilir. Bize başlangıç noktası \( (4, -1) \) olarak verilmiş.
- ✅ Bu durumda, \( -r = 4 \) ise \( r = -4 \) olur.
- ✅ Ve \( k = -1 \) olur.
- Bu değerleri \( f(x) = \sqrt{x+r} + k \) formunda yerine yazarsak, fonksiyonun denklemi:
\[ f(x) = \sqrt{x+(-4)} + (-1) \] \[ f(x) = \sqrt{x-4} - 1 \] şeklinde bulunur.
- 👉 Bulduğumuz fonksiyonda \( x \) yerine \( 8 \) yazalım:
\[ f(8) = \sqrt{8-4} - 1 \] \[ f(8) = \sqrt{4} - 1 \] \[ f(8) = 2 - 1 \] \[ f(8) = 1 \] - ✅ Yani, \( x=8 \) için fonksiyonun değeri \( 1 \) olur.
Örnek 3:
🎯 Örnek 3: x Ekseni Üzerine Simetri (Yansıma)
\( f(x) = \sqrt{x+1} + 3 \) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği olan \( g(x) \) fonksiyonunun denklemini yazınız. Ayrıca \( g(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesini belirleyiniz.
\( f(x) = \sqrt{x+1} + 3 \) fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriği olan \( g(x) \) fonksiyonunun denklemini yazınız. Ayrıca \( g(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin x eksenine göre simetriğini almak için fonksiyonun tüm işaretini değiştiririz, yani \( y \) yerine \( -y \) yazarız veya \( -f(x) \) hesaplarız:
- 👉 Verilen fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x+1} + 3 \).
- 👉 x eksenine göre simetriği olan \( g(x) \) fonksiyonu için \( g(x) = -f(x) \) olacaktır.
- ✅ Bu durumda:
\[ g(x) = -(\sqrt{x+1} + 3) \] \[ g(x) = -\sqrt{x+1} - 3 \] şeklinde bulunur.
- 👉 \( \sqrt{x+1} \) ifadesi her zaman \( 0 \) veya pozitif bir değer alır (yani \( \sqrt{x+1} \ge 0 \)).
- 👉 Bu durumda \( -\sqrt{x+1} \) ifadesi her zaman \( 0 \) veya negatif bir değer alır (yani \( -\sqrt{x+1} \le 0 \)).
- 👉 Fonksiyonun tamamı \( -\sqrt{x+1} - 3 \) olduğu için, alabileceği en büyük değer \( 0-3 = -3 \) olacaktır.
- ✅ Dolayısıyla \( g(x) \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( (-\infty, -3] \) aralığıdır.
Örnek 4:
🧭 Örnek 4: y Ekseni Üzerine Simetri (Yansıma)
\( f(x) = \sqrt{x-2} - 1 \) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği olan \( h(x) \) fonksiyonunun denklemini yazınız. Ayrıca \( h(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini belirleyiniz.
\( f(x) = \sqrt{x-2} - 1 \) fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriği olan \( h(x) \) fonksiyonunun denklemini yazınız. Ayrıca \( h(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini belirleyiniz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun grafiğinin y eksenine göre simetriğini almak için fonksiyondaki tüm \( x \) değerleri yerine \( -x \) yazarız:
- 👉 Verilen fonksiyon \( f(x) = \sqrt{x-2} - 1 \).
- 👉 y eksenine göre simetriği olan \( h(x) \) fonksiyonu için \( h(x) = f(-x) \) olacaktır.
- ✅ Bu durumda:
\[ h(x) = \sqrt{(-x)-2} - 1 \] \[ h(x) = \sqrt{-x-2} - 1 \] şeklinde bulunur.
- 👉 Kareköklü ifadelerin içi negatif olamaz. Bu yüzden \( -x-2 \ge 0 \) olmalıdır.
- 👉 Eşitsizliği çözelim: \( -x \ge 2 \).
- 👉 Her iki tarafı \( -1 \) ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: \( x \le -2 \).
- ✅ Yani \( h(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi \( (-\infty, -2] \) aralığıdır.
Örnek 5:
✨ Örnek 5: Hem Öteleme Hem Simetri
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu önce y eksenine göre simetriği alındıktan sonra, elde edilen fonksiyon x ekseni boyunca 2 birim sola ve y ekseni boyunca 4 birim aşağı ötelendiğinde oluşan son fonksiyonun denklemini yazınız.
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu önce y eksenine göre simetriği alındıktan sonra, elde edilen fonksiyon x ekseni boyunca 2 birim sola ve y ekseni boyunca 4 birim aşağı ötelendiğinde oluşan son fonksiyonun denklemini yazınız.
Çözüm:
Dönüşümleri adım adım uygulayalım:
- Adım 1: y eksenine göre simetri alma.
👉 \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun y eksenine göre simetriğini almak için \( x \) yerine \( -x \) yazarız.
✅ Elde edilen yeni fonksiyon: \( g(x) = \sqrt{-x} \). - Adım 2: x ekseni boyunca 2 birim sola öteleme.
👉 \( g(x) = \sqrt{-x} \) fonksiyonunu 2 birim sola ötelemek için \( x \) yerine \( (x+2) \) yazarız. Ancak dikkat! \( -x \) ifadesinde \( x \) yerine \( (x+2) \) yazarken parantez kullanmalıyız.
✅ Elde edilen yeni fonksiyon: \( h(x) = \sqrt{-(x+2)} = \sqrt{-x-2} \). - Adım 3: y ekseni boyunca 4 birim aşağı öteleme.
👉 \( h(x) = \sqrt{-x-2} \) fonksiyonunu 4 birim aşağı ötelemek için fonksiyondan \( 4 \) çıkarırız.
✅ Son fonksiyonun denklemi: \( k(x) = \sqrt{-x-2} - 4 \).
Örnek 6:
🚀 Örnek 6: Fiziksel Bir Modelin Dönüşümü
Bir roketin fırlatıldıktan sonraki ilk anlarındaki irtifasının (yüksekliğinin) zamana bağlı değişimi, basitçe \( h(t) = \sqrt{t} \) fonksiyonu ile modellenebilmektedir (burada \( t \) saniye, \( h(t) \) kilometre cinsindendir).
Mühendisler, roketin kalkış noktasını değiştirerek ve başlangıç yüksekliğini ayarlayarak bu modeli dönüştürmek istiyorlar. Eğer yeni modelde roketin fırlatılması 2 saniye geç başlayacak ve başlangıç yüksekliği 5 km olacak şekilde tasarlanırsa, yeni irtifa fonksiyonu \( H(t) \) ne olur? Bu yeni modelde, roket fırlatıldıktan 6 saniye sonraki (yani \( t=6 \) saniyesindeki) irtifası kaç km olur?
Bir roketin fırlatıldıktan sonraki ilk anlarındaki irtifasının (yüksekliğinin) zamana bağlı değişimi, basitçe \( h(t) = \sqrt{t} \) fonksiyonu ile modellenebilmektedir (burada \( t \) saniye, \( h(t) \) kilometre cinsindendir).
Mühendisler, roketin kalkış noktasını değiştirerek ve başlangıç yüksekliğini ayarlayarak bu modeli dönüştürmek istiyorlar. Eğer yeni modelde roketin fırlatılması 2 saniye geç başlayacak ve başlangıç yüksekliği 5 km olacak şekilde tasarlanırsa, yeni irtifa fonksiyonu \( H(t) \) ne olur? Bu yeni modelde, roket fırlatıldıktan 6 saniye sonraki (yani \( t=6 \) saniyesindeki) irtifası kaç km olur?
Çözüm:
Verilen dönüşümleri fonksiyon üzerinde uygulayarak yeni modeli oluşturalım:
- Adım 1: Fırlatmanın 2 saniye geç başlaması.
👉 Bu durum, fonksiyonun grafiğinin t ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenmesi anlamına gelir. Yani \( t \) yerine \( (t-2) \) yazılır.
✅ Fonksiyonumuz \( h(t) = \sqrt{t} \) iken, bu dönüşümle \( \sqrt{t-2} \) olur. - Adım 2: Başlangıç yüksekliğinin 5 km olması.
👉 Bu durum, fonksiyonun grafiğinin y ekseni (irtifa ekseni) boyunca 5 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir. Yani fonksiyona \( +5 \) eklenir.
✅ Yeni irtifa fonksiyonu \( H(t) = \sqrt{t-2} + 5 \) olur.
- 👉 \( H(t) = \sqrt{t-2} + 5 \) fonksiyonunda \( t \) yerine \( 6 \) yazalım:
\[ H(6) = \sqrt{6-2} + 5 \] \[ H(6) = \sqrt{4} + 5 \] \[ H(6) = 2 + 5 \] \[ H(6) = 7 \] - ✅ Yani, roket fırlatıldıktan 6 saniye sonraki irtifası 7 km olacaktır.
Örnek 7:
🌳 Örnek 7: Bitki Büyüme Modeli
Bir bitkinin ekildikten sonraki büyüme hızı, belirli bir süre boyunca yaklaşık olarak kareköklü bir fonksiyonla modellenebilir. Örneğin, bir bitkinin ekildikten \( x \) hafta sonraki boyu (cm cinsinden) \( B(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu ile ifade edilsin.
Bahçıvan Can Bey, bu bitki türünü deneme amaçlı olarak 3 hafta önceden ekmiş ve başlangıçta 1 cm boyunda bir fide kullanmıştır. Buna göre, Can Bey'in bitkisinin boyunu modelleyen yeni fonksiyonu \( B_{yeni}(x) \) yazınız. (Burada \( x \) ekimden sonraki haftayı temsil eder, Can Bey'in bitkisi için \( x=0 \) anı, Can Bey'in ekim yaptığı andır.)
Bir bitkinin ekildikten sonraki büyüme hızı, belirli bir süre boyunca yaklaşık olarak kareköklü bir fonksiyonla modellenebilir. Örneğin, bir bitkinin ekildikten \( x \) hafta sonraki boyu (cm cinsinden) \( B(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonu ile ifade edilsin.
Bahçıvan Can Bey, bu bitki türünü deneme amaçlı olarak 3 hafta önceden ekmiş ve başlangıçta 1 cm boyunda bir fide kullanmıştır. Buna göre, Can Bey'in bitkisinin boyunu modelleyen yeni fonksiyonu \( B_{yeni}(x) \) yazınız. (Burada \( x \) ekimden sonraki haftayı temsil eder, Can Bey'in bitkisi için \( x=0 \) anı, Can Bey'in ekim yaptığı andır.)
Çözüm:
Can Bey'in durumunu mevcut \( B(x) = \sqrt{x} \) modeline göre dönüştürelim:
- Adım 1: 3 hafta önceden ekilmesi.
👉 Can Bey'in bitkisi, standart modeldeki \( x=0 \) anına göre 3 hafta daha yaşlıdır. Bu, fonksiyonun x ekseni boyunca 3 birim sola ötelenmesi anlamına gelir. Yani \( x \) yerine \( (x+3) \) yazılır.
✅ Fonksiyonumuz \( \sqrt{x} \) iken, bu dönüşümle \( \sqrt{x+3} \) olur. - Adım 2: Başlangıçta 1 cm boyunda bir fide kullanması.
👉 Bu durum, fonksiyonun y ekseni (boy ekseni) boyunca 1 birim yukarı ötelenmesi anlamına gelir. Yani fonksiyona \( +1 \) eklenir.
✅ Can Bey'in bitkisinin boyunu modelleyen yeni fonksiyonu \( B_{yeni}(x) = \sqrt{x+3} + 1 \) olur.
Örnek 8:
🧩 Örnek 8: Bilinmeyen Katsayıları Bulma
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, belirli öteleme ve/veya simetri dönüşümleri sonucunda \( g(x) = \sqrt{a-x} + b \) fonksiyonunun grafiğine dönüşmüştür. Eğer \( g(x) \) fonksiyonunun başlangıç noktası \( (5, 2) \) ve bu fonksiyon \( (1, 4) \) noktasından geçiyorsa, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
\( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği, belirli öteleme ve/veya simetri dönüşümleri sonucunda \( g(x) = \sqrt{a-x} + b \) fonksiyonunun grafiğine dönüşmüştür. Eğer \( g(x) \) fonksiyonunun başlangıç noktası \( (5, 2) \) ve bu fonksiyon \( (1, 4) \) noktasından geçiyorsa, \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Verilen bilgilerden \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım:
- Adım 1: Başlangıç noktasını kullanarak \( a \) ve \( b \) hakkında bilgi edinme.
👉 \( g(x) = \sqrt{a-x} + b \) fonksiyonunun başlangıç noktası, karekök içindeki ifadenin sıfır olduğu ve dışındaki sabit terimin olduğu yerdir.
👉 Yani \( a-x = 0 \implies x = a \). Bu durumda başlangıç noktasının x koordinatı \( a \)'dır.
👉 Başlangıç noktasının y koordinatı ise \( b \)'dir.
✅ Bize başlangıç noktasının \( (5, 2) \) olduğu verilmiş. Dolayısıyla, \( a=5 \) ve \( b=2 \) olmalıdır. - Adım 2: Fonksiyonu güncelleme.
👉 Bulduğumuz \( a=5 \) ve \( b=2 \) değerlerini \( g(x) \) fonksiyonunda yerine yazalım:
\[ g(x) = \sqrt{5-x} + 2 \] - Adım 3: Fonksiyonun \( (1, 4) \) noktasından geçip geçmediğini kontrol etme (veya bu bilgiyi kullanma).
👉 Bu adım aslında bir kontrol adımıdır veya eğer başlangıç noktası bilgisi eksik olsaydı \( a \) ve \( b \) değerlerini bulmak için kullanılırdı.
👉 \( x=1 \) için \( g(x) = 4 \) olmalıdır:
\[ g(1) = \sqrt{5-1} + 2 \] \[ g(1) = \sqrt{4} + 2 \] \[ g(1) = 2 + 2 \] \[ g(1) = 4 \] - ✅ Sonuç, fonksiyonun \( (1, 4) \) noktasından geçtiğini doğrular. Bu durumda, bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerleri doğrudur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekoklu-fonksiyonlarda-oteleme-ve-simetri-f-x-sqrt-x-r-k-formu/sorular