Kareköklü Fonksiyonlarda Öteleme Ve Simetri (f(x)=\sqrt{x+r}+k Formu) Ders Notu

Kareköklü fonksiyonlar, genellikle \( f(x) = \sqrt{x} \) şeklinde ifade edilen ve bağımsız değişkenin karekökünü içeren fonksiyonlardır. Bu fonksiyonların tanım kümesi, karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerektiği kuralına dayanır. Yani, \( \sqrt{A} \) ifadesinin tanımlı olabilmesi için \( A \ge 0 \) olmalıdır. Temel kareköklü fonksiyon olan \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [0, \infty) \) ve değer kümesi \( [0, \infty) \) şeklindedir.

Kareköklü Fonksiyonlarda Öteleme (Kaydırma)

Bir \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğini, koordinat sisteminde belirli yönlerde kaydırma işlemine öteleme denir. Bu öteleme işlemleri, fonksiyonun kuralında yapılan değişikliklerle gerçekleşir.

1. Yatay Öteleme (Sağa-Sola Kaydırma) ↔️

Bir \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğini yatay olarak ötelemek için, \( x \) yerine \( x+r \) yazılır. Bu durumda fonksiyon \( g(x) = \sqrt{x+r} \) şeklini alır.

• Eğer \( r > 0 \) ise, grafik \( |r| \) birim sola ötelenir. Başlangıç noktası \( (0,0) \) iken \( (-r, 0) \) olur.
• Eğer \( r < 0 \) ise, grafik \( |r| \) birim sağa ötelenir. Başlangıç noktası \( (0,0) \) iken \( (-r, 0) \) olur.

Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği ile \( g(x) = \sqrt{x+2} \) ve \( h(x) = \sqrt{x-3} \) fonksiyonlarının grafikleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

• \( g(x) = \sqrt{x+2} \): \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği 2 birim sola ötelenmiştir. Tanım kümesi \( x+2 \ge 0 \implies x \ge -2 \). Başlangıç noktası \( (-2, 0) \).
• \( h(x) = \sqrt{x-3} \): \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği 3 birim sağa ötelenmiştir. Tanım kümesi \( x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \). Başlangıç noktası \( (3, 0) \).

2. Dikey Öteleme (Yukarı-Aşağı Kaydırma) ↕️

Bir \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğini dikey olarak ötelemek için, fonksiyonun sonucuna \( k \) değeri eklenir veya çıkarılır. Bu durumda fonksiyon \( g(x) = \sqrt{x} + k \) şeklini alır.

• Eğer \( k > 0 \) ise, grafik \( k \) birim yukarı ötelenir. Başlangıç noktası \( (0,0) \) iken \( (0, k) \) olur.
• Eğer \( k < 0 \) ise, grafik \( |k| \) birim aşağı ötelenir. Başlangıç noktası \( (0,0) \) iken \( (0, k) \) olur.

Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiği ile \( g(x) = \sqrt{x} + 1 \) ve \( h(x) = \sqrt{x} - 4 \) fonksiyonlarının grafikleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.

• \( g(x) = \sqrt{x} + 1 \): \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği 1 birim yukarı ötelenmiştir. Başlangıç noktası \( (0, 1) \).
• \( h(x) = \sqrt{x} - 4 \): \( f(x) \) fonksiyonunun grafiği 4 birim aşağı ötelenmiştir. Başlangıç noktası \( (0, -4) \).

3. Genel Öteleme Formu: \( f(x) = \sqrt{x+r} + k \) 🎯

Bir kareköklü fonksiyonun hem yatay hem de dikey olarak ötelenmiş hali \( f(x) = \sqrt{x+r} + k \) şeklinde ifade edilir.

• Bu fonksiyonun başlangıç noktası \( (-r, k) \) olur.
• Tanım kümesi \( x+r \ge 0 \implies x \ge -r \), yani \( [-r, \infty) \) şeklindedir.
• Değer kümesi \( [k, \infty) \) şeklindedir (eğer karekök önünde eksi işareti yoksa).

Örnek: \( f(x) = \sqrt{x-3} + 5 \) fonksiyonunu inceleyelim.

• Bu fonksiyon, \( y = \sqrt{x} \) fonksiyonunun grafiğinin 3 birim sağa (\( x-3 \)) ve 5 birim yukarı (\( +5 \)) ötelenmiş halidir.
• Başlangıç noktası \( (3, 5) \).
• Tanım kümesi: \( x-3 \ge 0 \implies x \ge 3 \). Yani \( [3, \infty) \).
• Değer kümesi: \( [5, \infty) \).

Kareköklü Fonksiyonlarda Simetri (Yansıma)

Bir fonksiyonun grafiğinin belirli bir eksene veya noktaya göre ayna görüntüsünü alma işlemine simetri denir. Kareköklü fonksiyonlarda da simetri dönüşümleri uygulanabilir.

1. x-eksenine Göre Simetri (Yansıma) ⬇️

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin x-eksenine göre simetriği, \( -f(x) \) fonksiyonunun grafiğidir. Kareköklü fonksiyonlar için bu durum \( g(x) = -\sqrt{x} \) şeklinde ifade edilir.

• Bu dönüşüm, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun pozitif değerlerini negatif değerlere dönüştürür.
• Grafik, x-ekseni üzerinde aşağı doğru yansır.
• Tanım kümesi \( [0, \infty) \), ancak değer kümesi \( (-\infty, 0] \) olur.

Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun x-eksenine göre simetriği \( g(x) = -\sqrt{x} \) fonksiyonudur. \[ f(x) = \sqrt{x} \implies g(x) = -\sqrt{x} \]

2. y-eksenine Göre Simetri (Yansıma) ⬅️

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin y-eksenine göre simetriği, \( f(-x) \) fonksiyonunun grafiğidir. Kareköklü fonksiyonlar için bu durum \( g(x) = \sqrt{-x} \) şeklinde ifade edilir.

• Bu dönüşüm, \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun sağ tarafındaki grafiğini y-eksenine göre sol tarafa yansıtır.
• Tanım kümesi \( -x \ge 0 \implies x \le 0 \), yani \( (-\infty, 0] \) olur.
• Değer kümesi \( [0, \infty) \) olur.

Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun y-eksenine göre simetriği \( g(x) = \sqrt{-x} \) fonksiyonudur. \[ f(x) = \sqrt{x} \implies g(x) = \sqrt{-x} \]

3. Orijine Göre Simetri (Yansıma) 🔄

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun grafiğinin orijine göre simetriği, \( -f(-x) \) fonksiyonunun grafiğidir. Kareköklü fonksiyonlar için bu durum \( g(x) = -\sqrt{-x} \) şeklinde ifade edilir.

• Bu dönüşüm, hem x-eksenine hem de y-eksenine göre ardışık iki yansıma gibidir.
• Tanım kümesi \( -x \ge 0 \implies x \le 0 \), yani \( (-\infty, 0] \) olur.
• Değer kümesi \( (-\infty, 0] \) olur.

Örnek: \( f(x) = \sqrt{x} \) fonksiyonunun orijine göre simetriği \( g(x) = -\sqrt{-x} \) fonksiyonudur. \[ f(x) = \sqrt{x} \implies g(x) = -\sqrt{-x} \]