🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Soru:
\(f(x) = \sqrt{x - 4}\) fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesini bulunuz.
\(f(x) = \sqrt{x - 4}\) fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Karekök fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için kök derecesi çift (burada gizli 2 var) olduğundan, kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
✅ Bu durumda fonksiyonun en geniş tanım kümesi \([4, \infty)\) aralığıdır.
Karekök fonksiyonunun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için kök derecesi çift (burada gizli 2 var) olduğundan, kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.
- Kökün içi: \(x - 4\)
- Tanımlı olma şartı: \(x - 4 \ge 0\)
- Buradan: \(x \ge 4\) elde edilir.
✅ Bu durumda fonksiyonun en geniş tanım kümesi \([4, \infty)\) aralığıdır.
Örnek 2:
📌 Soru:
\(f(x) = \sqrt{3x + 4}\) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \(f(7)\) değerini hesaplayınız.
\(f(x) = \sqrt{3x + 4}\) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, \(f(7)\) değerini hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Çözüm:
Fonksiyonda verilen \(f(7)\) değerini bulmak için \(x\) değişkeni yerine \(7\) yazmalıyız.
✅ Doğru cevap \(5\) olarak bulunur.
Fonksiyonda verilen \(f(7)\) değerini bulmak için \(x\) değişkeni yerine \(7\) yazmalıyız.
- \(f(7) = \sqrt{3 \times 7 + 4}\)
- \(f(7) = \sqrt{21 + 4}\)
- \(f(7) = \sqrt{25}\)
- \(f(7) = 5\)
✅ Doğru cevap \(5\) olarak bulunur.
Örnek 3:
📌 Soru:
\(f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{9 - x}\) fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesinde kaç farklı \(x\) tam sayısı vardır?
\(f(x) = \sqrt{x - 2} + \sqrt{9 - x}\) fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesinde kaç farklı \(x\) tam sayısı vardır?
Çözüm:
💡 Çözüm:
İki farklı kareköklü ifadenin toplamı şeklinde verilen bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki kökün içinin de aynı anda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
Bu aralıktaki tam sayılar:
\(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\)
✅ Tanım kümesinde toplam \(8\) farklı tam sayı değeri vardır.
İki farklı kareköklü ifadenin toplamı şeklinde verilen bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki kökün içinin de aynı anda sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- 1. Kök için: \(x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2\)
- 2. Kök için: \(9 - x \ge 0 \implies x \le 9\)
- Bu iki eşitsizliği birleştirirsek: \(2 \le x \le 9\) aralığını elde ederiz.
Bu aralıktaki tam sayılar:
\(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\)
✅ Tanım kümesinde toplam \(8\) farklı tam sayı değeri vardır.
Örnek 4:
📌 Soru:
\(f(x) = \sqrt{x^2 + 16}\) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
\(f(x) = \sqrt{x^2 + 16}\) fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Karekök fonksiyonunun içinin en küçük değerini bulmamız gerekir. Kökün içerisindeki ifade bir ikinci derece ifadedir:
✅ Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \(4\)'tür.
Karekök fonksiyonunun içinin en küçük değerini bulmamız gerekir. Kökün içerisindeki ifade bir ikinci derece ifadedir:
- Kökün içi: \(x^2 + 16\)
- Bir gerçek sayının karesi en az sıfır olabilir. Yani \(x^2 \ge 0\) dır.
- Bu durumda \(x^2 + 16\) ifadesinin alabileceği en küçük değer \(x = 0\) için gerçekleşir.
- \(x = 0\) için en küçük değer: \(\sqrt{0^2 + 16} = \sqrt{16} = 4\) olur.
✅ Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \(4\)'tür.
Örnek 5:
📌 Soru:
\(f(x) = \sqrt{25 - x^2}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
\(f(x) = \sqrt{25 - x^2}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
Tanım kümesindeki tam sayılar:
\(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\)
Bu tam sayıların toplamı:
\((-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0\)
✅ Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı \(0\) olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
- \(25 - x^2 \ge 0\)
- \(x^2 \le 25\)
- Buradan \(-5 \le x \le 5\) elde edilir.
Tanım kümesindeki tam sayılar:
\(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\)
Bu tam sayıların toplamı:
\((-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 0\)
✅ Tanım kümesindeki tam sayıların toplamı \(0\) olarak bulunur.
Örnek 6:
📌 Soru:
Bir cismin \(h\) metre yükseklikten serbest düşüş yaparken yere ulaşma süresi saniye cinsinden \(t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}\) fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, \(180\) metre yükseklikten serbest bırakılan bir cismin yere düşme süresi kaç saniyedir?
Bir cismin \(h\) metre yükseklikten serbest düşüş yaparken yere ulaşma süresi saniye cinsinden \(t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}\) fonksiyonu ile modellenmektedir.
Buna göre, \(180\) metre yükseklikten serbest bırakılan bir cismin yere düşme süresi kaç saniyedir?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Bize verilen fonksiyon modelinde yükseklik olan \(h\) yerine \(180\) yazarak süreyi hesaplamalıyız.
✅ Cismin yere düşme süresi \(6\) saniye olarak hesaplanır.
Bize verilen fonksiyon modelinde yükseklik olan \(h\) yerine \(180\) yazarak süreyi hesaplamalıyız.
- \(t(180) = \sqrt{\frac{180}{5}}\)
- \(t(180) = \sqrt{36}\)
- \(t(180) = 6\)
✅ Cismin yere düşme süresi \(6\) saniye olarak hesaplanır.
Örnek 7:
📌 Soru:
Bir kenar uzunluğu \(a\) metre olan kare şeklindeki bir bahçenin alanı \(A\) metrekaredir. Bahçenin kenar uzunluğunu alanına bağlı olarak veren fonksiyon \(f(A) = \sqrt{A}\) biçimindedir.
Bahçe sahibi, bahçesinin alanını \(49\) metrekareden \(121\) metrekareye çıkardığında, bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metre artmış olur?
Bir kenar uzunluğu \(a\) metre olan kare şeklindeki bir bahçenin alanı \(A\) metrekaredir. Bahçenin kenar uzunluğunu alanına bağlı olarak veren fonksiyon \(f(A) = \sqrt{A}\) biçimindedir.
Bahçe sahibi, bahçesinin alanını \(49\) metrekareden \(121\) metrekareye çıkardığında, bahçenin bir kenar uzunluğu kaç metre artmış olur?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Bahçenin başlangıçtaki ve son durumdaki kenar uzunluklarını \(f(A) = \sqrt{A}\) fonksiyonunu kullanarak bulalım.
✅ Bahçenin bir kenar uzunluğu \(4\) metre artmıştır.
Bahçenin başlangıçtaki ve son durumdaki kenar uzunluklarını \(f(A) = \sqrt{A}\) fonksiyonunu kullanarak bulalım.
- İlk durum (Alan = 49): \(f(49) = \sqrt{49} = 7\) metre.
- Son durum (Alan = 121): \(f(121) = \sqrt{121} = 11\) metre.
- Kenar uzunluğundaki artış miktarı: \(11 - 7 = 4\) metre.
✅ Bahçenin bir kenar uzunluğu \(4\) metre artmıştır.
Örnek 8:
📌 Soru:
Bir bilgisayar programı, sisteme girilen bir \(x\) pozitif tam sayısı için çıktı olarak \(g(x) = \sqrt{4x + 9}\) değerini üretmektedir.
Sisteme girilen bir sayı sonucunda program ekranında çıktı olarak \(11\) sayısı göründüğüne göre, sisteme girilen \(x\) sayısı kaçtır?
Bir bilgisayar programı, sisteme girilen bir \(x\) pozitif tam sayısı için çıktı olarak \(g(x) = \sqrt{4x + 9}\) değerini üretmektedir.
Sisteme girilen bir sayı sonucunda program ekranında çıktı olarak \(11\) sayısı göründüğüne göre, sisteme girilen \(x\) sayısı kaçtır?
Çözüm:
💡 Çözüm:
Programın çıktısı \(11\) olduğuna göre, fonksiyonun değerini \(11\)'e eşitleyip \(x\) değerini bulmalıyız.
✅ Sisteme girilen \(x\) sayısı \(28\) olarak bulunur.
Programın çıktısı \(11\) olduğuna göre, fonksiyonun değerini \(11\)'e eşitleyip \(x\) değerini bulmalıyız.
- \(\sqrt{4x + 9} = 11\)
- Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:
- \(4x + 9 = 11^2\)
- \(4x + 9 = 121\)
- \(4x = 121 - 9\)
- \(4x = 112\)
- \(x = 28\)
✅ Sisteme girilen \(x\) sayısı \(28\) olarak bulunur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-karekok-fonksiyon/sorular