💡 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon Çözümlü Örnekler

Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için kök içerisindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, kök içi sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.

• 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = \sqrt{2x - 8} \) olduğundan, kök içindeki ifade \( 2x - 8 \) dir.
• ✅ Bu ifadeyi sıfıra eşit veya büyük kabul etmeliyiz:
  \[ 2x - 8 \ge 0 \]
• 👉 Eşitsizliği çözmek için -8'i karşıya atalım:
  \[ 2x \ge 8 \]
• 👉 Her iki tarafı 2'ye bölelim:
  \[ x \ge 4 \]
• 📌 Buna göre, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [4, \infty) \) aralığıdır.

Yine aynı prensiple, karekök içindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.

• 👉 Fonksiyonumuz \( g(x) = \sqrt{16 - x^2} \) olduğundan, kök içindeki ifade \( 16 - x^2 \) dir.
• ✅ Bu ifadeyi sıfıra eşit veya büyük kabul edelim:
  \[ 16 - x^2 \ge 0 \]
• 👉 Eşitsizliği daha kolay çözmek için \( x^2 \) yi karşıya atalım:
  \[ 16 \ge x^2 \]
• 👉 Bu eşitsizliği \( x^2 \le 16 \) şeklinde de yazabiliriz.
• 📌 Bu tür bir eşitsizliği çözerken, \( x \) değerleri -4 ile 4 arasında olmalıdır. Yani,
  \[ -4 \le x \le 4 \]
• ✅ Dolayısıyla, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [-4, 4] \) kapalı aralığıdır.

Karekök içeren denklemleri çözerken, karekökü ortadan kaldırmak için her iki tarafın karesini alırız. Ancak, bulduğumuz sonuçları denklemin tanım kümesine ve karekökün sonucunun pozitif olma şartına göre kontrol etmemiz çok önemlidir.

• 👉 Öncelikle tanım kümesini belirleyelim: Kök içi \( x+5 \ge 0 \) olmalı, yani \( x \ge -5 \).
• 👉 Denklemin her iki tarafının karesini alalım:
  \[ (\sqrt{x + 5})^2 = 4^2 \]
• 👉 Bu durumda:
  \[ x + 5 = 16 \]
• 👉 \( +5 \) i karşıya atalım:
  \[ x = 16 - 5 \]
• ✅ Sonuç olarak:
  \[ x = 11 \]
• 📌 Şimdi bulduğumuz \( x=11 \) değerini tanım kümesi şartımız olan \( x \ge -5 \) ile kontrol edelim. \( 11 \ge -5 \) olduğu için çözüm doğrudur.

Bu tür denklemlerde, hem kök içinin negatif olmaması hem de karekökün sonucunun (sağ tarafın) negatif olmaması gerekliliğine dikkat etmeliyiz.

• 👉 1. Adım: Tanım Kümesi ve Değer Kümesi Şartları
  
  • Kök içi \( x+1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).
  • Karekökün sonucu negatif olamaz, yani \( x-1 \ge 0 \implies x \ge 1 \).
  • Bu iki şartı birleştirirsek, çözüm kümesindeki \( x \) değerleri \( x \ge 1 \) olmalıdır.
• 👉 2. Adım: Her İki Tarafın Karesini Alma
  \[ (\sqrt{x + 1})^2 = (x - 1)^2 \] \[ x + 1 = x^2 - 2x + 1 \]
• 👉 3. Adım: Denklemi Düzenleme
  Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:
  \[ 0 = x^2 - 2x + 1 - x - 1 \] \[ 0 = x^2 - 3x \]
• 👉 4. Adım: Çarpanlara Ayırma
  \[ x(x - 3) = 0 \] Buradan iki olası çözüm çıkar: \( x_1 = 0 \) veya \( x_2 = 3 \).
• 👉 5. Adım: Çözümleri Kontrol Etme
  Bulduğumuz \( x \) değerlerinin \( x \ge 1 \) şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim.
  • \( x_1 = 0 \): Bu değer \( x \ge 1 \) şartını sağlamaz (çünkü \( 0 < 1 \)). Dolayısıyla \( x=0 \) çözüm kümesine dahil değildir.
  • \( x_2 = 3 \): Bu değer \( x \ge 1 \) şartını sağlar (çünkü \( 3 \ge 1 \)). Dolayısıyla \( x=3 \) çözüm kümesine dahildir.
• ✅ Denklemin çözüm kümesi sadece \( \{3\} \) dir.

Karekök içeren eşitsizlikleri çözerken, yine tanım kümesi şartını ve kare alma işleminin eşitsizliği nasıl etkilediğini göz önünde bulundurmalıyız.

• 👉 1. Adım: Tanım Kümesi Şartı
  Kök içi \( x-3 \ge 0 \) olmalıdır. Bu da bize \( x \ge 3 \) şartını verir.
• 👉 2. Adım: Eşitsizliğin Her İki Tarafının Karesini Alma
  Eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğu için (karekök sonucu her zaman non-negatiftir ve 2 pozitiftir), kare alma işlemi eşitsizliğin yönünü değiştirmez.
  \[ (\sqrt{x - 3})^2 < 2^2 \] \[ x - 3 < 4 \]
• 👉 3. Adım: Eşitsizliği Çözme
  \[ x < 4 + 3 \] \[ x < 7 \]
• 👉 4. Adım: Şartları Birleştirme
  Hem \( x \ge 3 \) hem de \( x < 7 \) şartlarını aynı anda sağlamalıyız. Bu da şu aralığı verir:
  \[ 3 \le x < 7 \]
• ✅ Bu aralıktaki tam sayılar \( 3, 4, 5, 6 \) dır.

Bu problem, karekök fonksiyonunun tanım kümesi kavramını günlük hayat senaryosuna uyarlamaktadır. Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.

• 👉 Bitkinin boyunu veren fonksiyon \( B(t) = 5 + \sqrt{t - 2} \) dir.
• 👉 Bu fonksiyonun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifade \( t - 2 \) sıfıra eşit veya büyük olmalıdır:
  \[ t - 2 \ge 0 \]
• 👉 Eşitsizliği çözmek için -2'yi karşıya atalım:
  \[ t \ge 2 \]
• 📌 Bu sonuç, bitkinin boyunun ölçülebilmesi için en erken zamanın 2. hafta olduğunu gösterir. Yani, 2. haftadan itibaren bu model geçerlidir.
• ✅ Bitkinin dikildiği andan itibaren boyunun ölçülebileceği en erken zaman 2. haftadır.

Bu problem, günlük hayatta karşılaşılabilecek bir fiziksel durumu karekök fonksiyonu aracılığıyla modellemekte ve denklem çözümü gerektirmektedir.

• 👉 Verilen formül: \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \)
• 👉 Verilen değerler: Düşme süresi \( t = 3 \) saniye ve yer çekimi ivmesi \( g = 10 \ m/s^2 \).
• 👉 Bu değerleri formülde yerine yazalım:
  \[ 3 = \sqrt{\frac{2h}{10}} \]
• 👉 Karekökü ortadan kaldırmak için her iki tarafın karesini alalım:
  \[ 3^2 = \left(\sqrt{\frac{2h}{10}}\right)^2 \]
• \[ 9 = \frac{2h}{10} \]
• 👉 İçler dışlar çarpımı yaparak veya 10 ile çarparak denklemi çözelim:
  \[ 9 \times 10 = 2h \]
• \[ 90 = 2h \]
• 👉 Her iki tarafı 2'ye bölelim:
  \[ h = \frac{90}{2} \]
• ✅ Binanın yüksekliği \( h = 45 \) metredir.

Bir fonksiyonun birden fazla kareköklü ifade içermesi durumunda, her bir karekökün ayrı ayrı tanımlı olma şartını sağlaması gerekir. Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için bu şartların hepsinin aynı anda sağlanması zorunludur.

• 👉 1. Karekök İçin Tanım Şartı:
  İlk karekök \( \sqrt{x - 4} \) olduğundan, kök içi \( x - 4 \ge 0 \) olmalıdır.
  Bu da bize \( x \ge 4 \) şartını verir.
• 👉 2. Karekök İçin Tanım Şartı:
  İkinci karekök \( \sqrt{10 - x} \) olduğundan, kök içi \( 10 - x \ge 0 \) olmalıdır.
  Bu eşitsizliği çözmek için \( -x \) i karşıya atalım:
  \[ 10 \ge x \] Yani, \( x \le 10 \) şartını elde ederiz.
• 👉 Her İki Şartı Birleştirme:
  Fonksiyonun tamamının tanımlı olabilmesi için hem \( x \ge 4 \) hem de \( x \le 10 \) şartlarının aynı anda sağlanması gerekir. Bu iki eşitsizliği birleştirdiğimizde şu aralığı elde ederiz:
  \[ 4 \le x \le 10 \]
• ✅ Dolayısıyla, fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [4, 10] \) kapalı aralığıdır.