Karekök Fonksiyon Ders Notu

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı fonksiyonlar incelenirken, değişkenin kök içerisinde yer aldığı durumlarla sıkça karşılaşılır. Tanım kümesi ve görüntü kümesi analizinde kritik bir yere sahip olan karekök fonksiyonları, kök derecesinin çift olması sebebiyle özel sınırlamalara tabidir.

📌 Karekök Fonksiyonu Nedir?

İçerisinde en az bir tane kareköklü ifade barındıran ve bağımsız değişkeni kök içinde bulunduran fonksiyonlara karekök fonksiyonu denir. Genel gösterimi aşağıdaki gibidir:

\[ f(x) = \sqrt{g(x)} \]

1. Tanım Kümesinin Belirlenmesi

Gerçek sayılar (reel sayılar) kümesinde negatif bir sayının karekökü tanımlı değildir. Bu nedenle, bir karekök fonksiyonunun reel sayılarda tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olması gerekir.

Önemli Kural: \( f(x) = \sqrt{g(x)} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulmak için \( g(x) \ge 0 \) eşitsizliği çözülür.

2. Karekök Fonksiyonlarında Durum Analizi

Kareköklü ifadelerin konumuna göre tanım kümesi şartları değişkenlik gösterebilir:

Fonksiyon Tipi	Tanımlılık Şartı
\( f(x) = \sqrt{g(x)} \)	\( g(x) \ge 0 \)
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{g(x)}} \)	\( g(x) > 0 \) (Payda sıfır olamaz)

💡 Karekök Fonksiyonunun Görüntü Kümesi

Karekök sembolü \( \sqrt{\quad} \), tanımı gereği her zaman pozitif bir değeri veya sıfırı temsil eder. Dolayısıyla, \( f(x) = \sqrt{g(x)} \) biçimindeki temel bir karekök fonksiyonunun çıktıları hiçbir zaman negatif olamaz. Bu fonksiyonların görüntü kümesi en geniş hâliyle \( [0, \infty) \) aralığıdır.

✍️ Çözümlü Örnekler

Örnek 1

\( f(x) = \sqrt{2x - 10} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

Fonksiyonun reel sayılarda tanımlı olabilmesi için karekök içerisindeki ifadenin sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olması gerekir.

\[ 2x - 10 \ge 0 \]

Eşitsizliği çözersek:

\[ 2x \ge 10 \] \[ x \ge 5 \]

Buradan fonksiyonun en geniş tanım kümesi \( [5, \infty) \) olarak bulunur.

Örnek 2

\( f(x) = \sqrt{x - 3} + \sqrt{12 - x} \) fonksiyonunu tanımlı yapan \( x \) tam sayı değerlerinin toplamını bulunuz.

Çözüm:

Her iki kareköklü ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir. Bu durumda iki ayrı eşitsizlik kurulur:

1. İfade için: \( x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3 \)

2. İfade için: \( 12 - x \ge 0 \implies x \le 12 \)

Bu iki şartı birleştirdiğimizde \( x \) değişkeninin aralığı:

\[ 3 \le x \le 12 \]

Bu aralıktaki tam sayılar: \( 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \)

Bu değerlerin toplamı: \( 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 75 \) bulunur.

Örnek 3

\( f(x) = \frac{8}{\sqrt{x - 4}} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.

Çözüm:

Kareköklü ifade paydada yer almaktadır. Bir rasyonel ifadede payda sıfır olamayacağı için kök içindeki ifade sıfıra da eşit olamaz. Bu yüzden sadece büyüktür şartı uygulanır:

\[ x - 4 > 0 \] \[ x > 4 \]

Tanım kümesi açık aralık olarak \( (4, \infty) \) şeklinde ifade edilir.

Örnek 4 (Günlük Yaşam Uygulaması)

Belli bir yükseklikten serbest bırakılan bir cismin yere düşerken kazandığı hız (m/sn cinsinden), alınan yol olan \( h \) metreye bağlı olarak \( v(h) = \sqrt{20h} \) karekök fonksiyonu ile modellenmiştir. Cismin hızı 40 m/sn olduğunda kaç metre yol almış olduğunu bulunuz.

Çözüm:

Hız değeri \( v(h) = 40 \) olarak verilmiştir. Denklemde yerine yazalım:

\[ 40 = \sqrt{20h} \]

Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım:

\[ 40^2 = (\sqrt{20h})^2 \] \[ 1600 = 20h \] \[ h = \frac{1600}{20} \] \[ h = 80 \]

Cisim 80 metre yol aldığında hızı 40 m/sn olur.