📄 10. Sınıf Matematik: Karekök Fonksiyon Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bir karekök fonksiyonunun tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Bu fonksiyonda iki ayrı karekök ifadesi bulunmaktadır, bu nedenle her ikisinin de tanımlı olduğu ortak aralığı bulmalıyız.
1. \(x-3\) ifadesi için: \(x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3\). Bu, birinci kökün \([3, \infty)\) aralığında tanımlı olduğunu gösterir.
2. \(7-x\) ifadesi için: \(7-x \ge 0 \Rightarrow 7 \ge x\). Bu, ikinci kökün \((-\infty, 7]\) aralığında tanımlı olduğunu gösterir.
Fonksiyonun tanımlı olması için her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerekir. Bu iki aralığın kesişimi tanım kümesini verir:
\[[3, \infty) \cap (-\infty, 7] = [3, 7]\]
Tanım kümesi \([3, 7]\) aralığıdır.
Bu aralıktaki tam sayı değerleri \(3, 4, 5, 6, 7\) şeklindedir.

💡 Çözüm Adımları:

Karekök fonksiyonunun tanımlı olması için kök içindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir.
\(x^2-9 \ge 0\) eşitsizliğini çözmeliyiz.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım: \((x-3)(x+3) \ge 0\).
Kritik noktalar \(x-3=0 \Rightarrow x=3\) ve \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\) şeklindedir.
İşaret tablosu yaparak eşitsizliği inceleyelim:
\(x\) | \((-\infty, -3)\) | \(-3\) | \((-3, 3)\) | \(3\) | \((3, \infty)\)
------------------|---------------------|-------|---------------|-------|-------------------
\(x+3\) | - | 0 | + | + | +
\(x-3\) | - | - | - | 0 | +
\((x-3)(x+3)\) | + | 0 | - | 0 | +
Eşitsizliğin sıfırdan büyük veya eşit olduğu aralıklar \((-\infty, -3]\) ve \([3, \infty)\) şeklindedir.
Bu nedenle, \(f(x)\) fonksiyonunun tanım kümesi \((-\infty, -3] \cup [3, \infty)\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

\(f(x) = \sqrt{x-1}\) fonksiyonunun grafiğini çizmek için şu adımlar izlenir:
1. Tanım Kümesini Bulma: Fonksiyonun tanımlı olduğu \(x\) değerlerini belirleriz. Karekök içindeki ifade \(x-1 \ge 0\) olmalıdır, bu da \(x \ge 1\) anlamına gelir. Yani fonksiyon \([1, \infty)\) aralığında tanımlıdır.
2. Başlangıç Noktasını Bulma: Tanım kümesinin başlangıç noktası olan \(x=1\) için \(y\) değerini hesaplarız. \(f(1) = \sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0\). Dolayısıyla grafiğin başlangıç noktası \((1, 0)\) noktasıdır.
3. Değer Tablosu Oluşturma: Başlangıç noktasından itibaren \(x\) için uygun değerler seçerek \(y\) değerlerini hesaplarız. Seçilen \(x\) değerleri \(1\)'den büyük veya eşit olmalı ve karekök dışına tam çıkabilen değerler olmalı ki noktaları kolayca işaretleyelim.
Örneğin:
- \(x=1 \Rightarrow f(1) = 0\) (\((1,0)\))
- \(x=2 \Rightarrow f(2) = \sqrt{2-1} = \sqrt{1} = 1\) (\((2,1)\))
- \(x=5 \Rightarrow f(5) = \sqrt{5-1} = \sqrt{4} = 2\) (\((5,2)\))
- \(x=10 \Rightarrow f(10) = \sqrt{10-1} = \sqrt{9} = 3\) (\((10,3)\))
4. Grafiği Çizme Yönü: Elde edilen noktaları koordinat düzleminde işaretleriz. \(f(x) = \sqrt{x-1}\) fonksiyonu, temel \(y = \sqrt{x}\) fonksiyonunun grafiğinin \(x\)-ekseni boyunca \(1\) birim sağa ötelenmiş halidir. \(x\) değerleri arttıkça \(y\) değerleri de artar, bu nedenle grafik \(x\) arttıkça yukarı ve sağa doğru yay şeklinde ilerler. Başlangıç noktası \((1,0)\) olup, grafik sağa ve yukarı doğru artan bir eğri çizer.