💡 10. Sınıf Matematik: İki noktanın arasından geçen eğim Çözümlü Örnekler

İki noktanın arasındaki eğimi bulmak için eğim formülünü kullanırız. Formül şöyledir:

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) verilen iki noktadır.

• Verilen noktalar: \( A(3, 5) \) ve \( B(7, 13) \)
• Bu durumda \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 7 \), \( y_2 = 13 \) olur.
• Formülde yerine koyalım:

\( m = \frac{13 - 5}{7 - 3} \)

\( m = \frac{8}{4} \)

\( m = 2 \)

✅ Sonuç olarak, A ve B noktalarından geçen doğrunun eğimi 2'dir. 💡

Eğim formülünü tekrar hatırlayalım:

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

• Verilen noktalar: \( C(-2, 4) \) ve \( D(1, -5) \)
• Burada \( x_1 = -2 \), \( y_1 = 4 \), \( x_2 = 1 \), \( y_2 = -5 \) alabiliriz.
• Formülü uygulayalım:

\( m = \frac{-5 - 4}{1 - (-2)} \)

\( m = \frac{-9}{1 + 2} \)

\( m = \frac{-9}{3} \)

\( m = -3 \)

✅ C ve D noktalarından geçen doğrunun eğimi -3'tür. 👉

İki doğrunun eğiminin eşit olması, bu doğruların birbirine paralel olduğu anlamına gelir. Önce her iki doğrunun eğimini ayrı ayrı hesaplayalım. Doğru 1: E(k, 6) ve F(4, 2)

• \( x_1 = k \), \( y_1 = 6 \), \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 2 \)
• Eğim \( m_1 = \frac{2 - 6}{4 - k} = \frac{-4}{4 - k} \)

Doğru 2: G(1, 3) ve H(5, 11)

• \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 11 \)
• Eğim \( m_2 = \frac{11 - 3}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2 \)

Eğimler eşit olduğuna göre:

\( m_1 = m_2 \)

\( \frac{-4}{4 - k} = 2 \)

Şimdi k'yı bulmak için denklemi çözelim:

• \( -4 = 2 \times (4 - k) \)
• \( -4 = 8 - 2k \)
• \( 2k = 8 + 4 \)
• \( 2k = 12 \)
• \( k = 6 \)

✅ Bu durumda k değeri 6'dır. 💯

Bu soruda da yine iki nokta arasındaki eğim formülünü kullanacağız. Harita üzerindeki koordinatlar bize \( (x, y) \) noktalarını vermektedir.

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

• Verilen noktalar: \( K(10, 20) \) ve \( L(50, 100) \)
• Burada \( x_1 = 10 \), \( y_1 = 20 \), \( x_2 = 50 \), \( y_2 = 100 \)
• Formülü uygulayalım:

\( m = \frac{100 - 20}{50 - 10} \)

\( m = \frac{80}{40} \)

\( m = 2 \)

✅ K ve L şehirleri arasındaki doğrunun eğimi 2'dir. Bu, harita üzerinde kuzeydoğu yönünde bir artış olduğunu gösterir. ⬆️

Rampanın eğimini hesaplamak için başlangıç ve bitiş noktalarını \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) olarak alabiliriz.

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

• Başlangıç noktası: \( (0, 0) \), yani \( x_1 = 0 \), \( y_1 = 0 \)
• Bitiş noktası: \( (20, 5) \), yani \( x_2 = 20 \), \( y_2 = 5 \)
• Formülü uygulayalım:

\( m = \frac{5 - 0}{20 - 0} \)

\( m = \frac{5}{20} \)

\( m = \frac{1}{4} \)

✅ Rampanın eğimi \( \frac{1}{4} \) veya 0.25'tir. Bu, her 4 birim yatayda 1 birim yükseldiği anlamına gelir. 🚶‍♂️

Bu soruda da eğim formülünü kullanacağız ve verilen eğim değerini kullanarak 'a' değişkenini bulacağız.

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

• Verilen noktalar: \( M(a, 2a) \) ve \( N(3a, 8a) \)
• Burada \( x_1 = a \), \( y_1 = 2a \), \( x_2 = 3a \), \( y_2 = 8a \)
• Verilen eğim \( m = 5 \)
• Formülde yerine koyalım:

\( 5 = \frac{8a - 2a}{3a - a} \)

\( 5 = \frac{6a}{2a} \)

'a' sıfırdan farklı olduğu için sadeleştirme yapabiliriz:

\( 5 = 3 \)

Bu sonuç bir çelişkidir. Soruda bir hata olabilir veya 'a' için başka bir koşul gereklidir. Ancak, verilen bilgilere göre denklem çözümü bu şekilde ilerler. Eğer eğim 3 olsaydı, 'a' herhangi bir sıfırdan farklı reel sayı olabilirdi. Düzeltme Notu: Eğer soruda eğimin 3 olduğu belirtilseydi, çözüm şöyle olurdu:

\( 3 = \frac{6a}{2a} \)

\( 3 = 3 \)

Bu durumda 'a' sıfırdan farklı herhangi bir reel sayı olabilirdi. Ancak soruda eğim 5 olarak verildiği için, bu bilgilerle tutarlı bir 'a' değeri bulunamaz. Bu tür durumlarda sorunun tekrar kontrol edilmesi önemlidir. ⚠️

Bu soruda da eğim formülünü ve verilen eğim değerini kullanarak bilinmeyen x'i bulacağız.

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

• Verilen noktalar: \( P(x, 7) \) ve \( Q(3, 1) \)
• Burada \( x_1 = x \), \( y_1 = 7 \), \( x_2 = 3 \), \( y_2 = 1 \)
• Verilen eğim \( m = -2 \)
• Formülde yerine koyalım:

\( -2 = \frac{1 - 7}{3 - x} \)

\( -2 = \frac{-6}{3 - x} \)

Şimdi x'i bulmak için denklemi çözelim:

• \( -2 \times (3 - x) = -6 \)
• \( -6 + 2x = -6 \)
• \( 2x = -6 + 6 \)
• \( 2x = 0 \)
• \( x = 0 \)

✅ Bu durumda x değeri 0'dır. P noktası (0, 7) olur. ✅

Binanın eğimini hesaplamak için yine iki nokta arasındaki eğim formülünü kullanacağız.

Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)

• Zemin katı: \( (0, 0) \), yani \( x_1 = 0 \), \( y_1 = 0 \)
• Çatı katı noktası: \( (30, 10) \), yani \( x_2 = 30 \), \( y_2 = 10 \)
• Formülü uygulayalım:

\( m = \frac{10 - 0}{30 - 0} \)

\( m = \frac{10}{30} \)

\( m = \frac{1}{3} \)

✅ Binanın bu kısmının eğimi \( \frac{1}{3} \)'tür. Bu, her 3 birim yatayda 1 birim yükseldiği anlamına gelir. 🏗️