İki noktanın arasından geçen eğim Ders Notu

İki Noktanın Eğimini Bulma 📐

Analitik geometrinin temel konularından biri olan eğim, bir doğrunun yatayla yaptığı açının tanjantı olarak tanımlanır. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimini bulmak, doğru denklemlerini oluşturmada ve grafiklerini çizmede bize yardımcı olur. Bu dersimizde, iki farklı noktanın koordinatlarını kullanarak doğrunun eğimini nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz.

Eğim Kavramı

Bir doğrunun eğimi, \(m\) harfi ile gösterilir. Eğim, doğrunun x eksenine göre ne kadar dik veya yatık olduğunu belirtir.

• Eğim pozitif ise, doğru soldan sağa doğru yükselir.
• Eğim negatif ise, doğru soldan sağa doğru alçalır.
• Eğim sıfır ise, doğru yataydır (x eksenine paraleldir).
• Eğim tanımsız ise, doğru dikeydir (y eksenine paraleldir).

İki Noktası Verilen Doğrunun Eğimi

Analitik düzlemde \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) noktalarından geçen doğrunun eğimi şu formülle bulunur: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Bu formül, doğrunun dikey değişiminin (y'deki değişim) yatay değişimine (x'deki değişim) oranını verir. Dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta, paydadaki \(x_2 - x_1\) ifadesinin sıfır olmamasıdır. Eğer \(x_2 = x_1\) olursa, doğru dikey olur ve eğimi tanımsızdır.

Örnekler

Örnek 1: Pozitif Eğimli Doğru

\(A(2, 3)\) ve \(B(5, 9)\) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. Burada \(x_1 = 2\), \(y_1 = 3\), \(x_2 = 5\) ve \(y_2 = 9\) değerlerini formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{9 - 3}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \] Bu doğrunun eğimi \(2\)'dir ve soldan sağa doğru yükselir.

Örnek 2: Negatif Eğimli Doğru

\(C(-1, 4)\) ve \(D(3, -2)\) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. Burada \(x_1 = -1\), \(y_1 = 4\), \(x_2 = 3\) ve \(y_2 = -2\) değerlerini formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{-2 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-6}{3 + 1} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \] Bu doğrunun eğimi \(-\frac{3}{2}\)'dir ve soldan sağa doğru alçalır.

Örnek 3: Yatay Doğru

\(E(1, 5)\) ve \(F(7, 5)\) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. Burada \(x_1 = 1\), \(y_1 = 5\), \(x_2 = 7\) ve \(y_2 = 5\) değerlerini formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{5 - 5}{7 - 1} = \frac{0}{6} = 0 \] Bu doğrunun eğimi \(0\)'dır, bu da doğrunun yatay olduğunu gösterir.

Örnek 4: Dikey Doğru

\(G(4, 2)\) ve \(H(4, 8)\) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım. Burada \(x_1 = 4\), \(y_1 = 2\), \(x_2 = 4\) ve \(y_2 = 8\) değerlerini formülde yerine koyalım: \[ m = \frac{8 - 2}{4 - 4} = \frac{6}{0} \] Payda sıfır olduğu için eğim tanımsızdır. Bu, doğrunun dikey olduğunu gösterir.

Günlük Yaşamdan Bir Örnek

Bir rampanın eğimini düşünelim. Eğer bir rampanın başlangıç noktası (0, 0) ve bitiş noktası (10 metre yatay mesafe, 2 metre dikey yükseliş) ise, rampanın eğimi şu şekilde hesaplanabilir: \[ m = \frac{2 \text{ metre}}{10 \text{ metre}} = \frac{1}{5} \] Bu, her 5 metre yatayda 1 metre yükselindiği anlamına gelir.

Önemli Not

Noktaları formülde yerine koyarken hangi noktanın \((x_1, y_1)\) ve hangisinin \((x_2, y_2)\) olacağı fark etmez. Sonuç her zaman aynı olacaktır. Örneğin, Örnek 1'de noktaları yer değiştirerek hesaplayalım: \(A(2, 3)\) ve \(B(5, 9)\) yerine \(A(5, 9)\) ve \(B(2, 3)\) alırsak: \[ m = \frac{3 - 9}{2 - 5} = \frac{-6}{-3} = 2 \] Gördüğünüz gibi sonuç değişmemiştir.