💡 10. Sınıf Matematik: İki nokta arası uzaklık ve doğru parçasını bölme Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. Formül şu şekildedir: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarımızın koordinatlarıdır. 1. Noktalarımızı belirleyelim: \( A(x_1, y_1) = (2, 3) \) ve \( B(x_2, y_2) = (6, 7) \). 2. Formüldeki değerleri yerine koyalım: \[ d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] 3. Parantez içindeki farkları hesaplayalım: \[ d = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} \] 4. Kareleri alalım: \[ d = \sqrt{16 + 16} \] 5. Toplama işlemini yapalım: \[ d = \sqrt{32} \] 6. Karekökü sadeleştirelim. \( 32 = 16 \times 2 \) olduğundan: \[ d = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir. ✅

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü tekrar hatırlayalım: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \( C(x_1, y_1) = (-1, 4) \) ve \( D(x_2, y_2) = (5, -2) \). 1. Koordinatları formüle yerleştirelim: \[ d = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-2 - 4)^2} \] 2. Farkları hesaplayalım: \[ d = \sqrt{(5 + 1)^2 + (-6)^2} \] \[ d = \sqrt{(6)^2 + (-6)^2} \] 3. Kareleri alalım: \[ d = \sqrt{36 + 36} \] 4. Toplayalım: \[ d = \sqrt{72} \] 5. Karekökü sadeleştirelim. \( 72 = 36 \times 2 \) olduğundan: \[ d = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \] C ve D noktaları arasındaki uzaklık \( 6\sqrt{2} \) birimdir. 👉

Doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak için orta nokta formülünü kullanırız. Eğer \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları verildiyse, orta nokta M'nin koordinatları \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) olur. 1. Verilen noktalarımız: \( A(x_1, y_1) = (1, 2) \) ve \( B(x_2, y_2) = (7, 10) \). 2. Formüldeki değerleri yerine koyalım: \[ M_x = \frac{1 + 7}{2} \] \[ M_y = \frac{2 + 10}{2} \] 3. Hesaplamaları yapalım: \[ M_x = \frac{8}{2} = 4 \] \[ M_y = \frac{12}{2} = 6 \] Bu durumda, doğru parçasının orta noktasının koordinatları \( (4, 6) \) olur. ✅

Orta nokta formülünü kullanarak bu soruyu çözeceğiz: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \). 1. Noktalarımız: \( K(x_1, y_1) = (-3, 5) \) ve \( L(x_2, y_2) = (9, -7) \). 2. Formüldeki değerleri yerine koyalım: \[ M_x = \frac{-3 + 9}{2} \] \[ M_y = \frac{5 + (-7)}{2} \] 3. Hesaplamaları yapalım: \[ M_x = \frac{6}{2} = 3 \] \[ M_y = \frac{-2}{2} = -1 \] Orta noktanın koordinatları \( (3, -1) \) olarak bulunur. 🗺️

Bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak için içten bölme formülünü kullanırız. Eğer \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları verildiyse ve C noktası bu doğru parçasını \( m:n \) oranında içten bölüyorsa, C'nin koordinatları şu şekilde bulunur: \[ C\left(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n}\right) \] Soruda verilen oran 1/3'tür. Bu, C noktasının A'ya olan uzaklığının, C'nin B'ye olan uzaklığına oranının 1/3 olduğu anlamına gelir. Yani \( AC:CB = 1:3 \) olmalıdır. Bu durumda \( m=1 \) ve \( n=3 \) alabiliriz. 1. Noktalarımız: \( A(x_1, y_1) = (1, 5) \) ve \( B(x_2, y_2) = (7, 17) \). 2. Oranımız: \( m=1 \), \( n=3 \). 3. Formüldeki değerleri yerine koyalım: \[ C_x = \frac{3 \times 1 + 1 \times 7}{1+3} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] \[ C_y = \frac{3 \times 5 + 1 \times 17}{1+3} = \frac{15 + 17}{4} = \frac{32}{4} = 8 \] Bu durumda C noktasının koordinatları \( \left(\frac{5}{2}, 8\right) \) olur. 📌

Bu soruda da doğru parçasını içten bölen noktanın koordinatlarını bulacağız. Oran \( PR:RQ = 2:1 \) olarak verilmiş. Bu durumda \( m=2 \) ve \( n=1 \) olur. 1. Noktalarımız: \( P(x_1, y_1) = (-2, -4) \) ve \( Q(x_2, y_2) = (10, 8) \). 2. Oranımız: \( m=2 \), \( n=1 \). 3. Formüldeki değerleri yerine koyalım: \[ R_x = \frac{n x_1 + m x_2}{m+n} = \frac{1 \times (-2) + 2 \times 10}{2+1} = \frac{-2 + 20}{3} = \frac{18}{3} = 6 \] \[ R_y = \frac{n y_1 + m y_2}{m+n} = \frac{1 \times (-4) + 2 \times 8}{2+1} = \frac{-4 + 16}{3} = \frac{12}{3} = 4 \] R noktasının koordinatları \( (6, 4) \) olarak bulunur. 👍

Bu soruda hem iki nokta arasındaki uzaklığı hem de bir doğru parçasının orta noktasını bulacağız. Önce A ve B noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım: 1. Noktalarımız: \( A(x_1, y_1) = (3, 4) \) ve \( B(x_2, y_2) = (9, 12) \). 2. Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) \[ d = \sqrt{(9 - 3)^2 + (12 - 4)^2} \] \[ d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} = 10 \] İki nokta arasındaki en kısa mesafe 10 birimdir. Şimdi bu mesafenin yarısı kadar ilerleyerek ulaşılacak noktayı bulalım. Bu, A ve B noktalarının orta noktası olacaktır. 1. Orta nokta formülü: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) \[ M_x = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] \[ M_y = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Bu durumda, mesafenin yarısı kadar ilerlediğinizde ulaşacağınız nokta \( (6, 8) \) olur. 📍

Bu problemde, iki nokta arasındaki uzaklığı ve orta noktayı hesaplayacağız. Bu, spor salonunda egzersiz yaparken veya ekipman yerleştirirken faydalı olabilir. İstasyon A(1, 2) ve İstasyon B(7, 10) arasındaki mesafeyi hesaplayalım: 1. Noktalarımız: \( A(x_1, y_1) = (1, 2) \) ve \( B(x_2, y_2) = (7, 10) \). 2. Uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) \[ d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (10 - 2)^2} \] \[ d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} = 10 \] İki egzersiz istasyonu arasındaki mesafe 10 birimdir. Şimdi, bu mesafenin tam ortasında yer alan su sebilinin koordinatlarını bulalım (orta nokta): 1. Orta nokta formülü: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \) \[ M_x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ M_y = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \] Su sebilinin yerinin koordinatları \( (4, 6) \) olacaktır. Bu, hem istasyonlara eşit uzaklıkta olmasını sağlar. 🏃‍♀️