📝 10. Sınıf Matematik: İki nokta arası uzaklık ve doğru parçasını bölme Ders Notu
İki Nokta Arası Uzaklık ve Doğru Parçasını Bölme 📏
Analitik düzlemde verilen iki noktanın arasındaki uzaklığı hesaplamak ve bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak, geometri ve analitik geometri konularının temel taşlarındandır. Bu bölümde, bu iki önemli konuyu MEB 10. Sınıf Matematik müfredatı çerçevesinde detaylı bir şekilde inceleyeceğiz.
1. İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📍
Analitik düzlemde koordinatları bilinen iki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor teoreminin analitik düzleme uyarlanmış haliyle bulunur. Apsisleri \( x_1 \) ve \( x_2 \), ordinatları \( y_1 \) ve \( y_2 \) olan iki nokta, \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olsun. Bu iki nokta arasındaki uzaklık olan \( |AB| \) şu formülle hesaplanır:
\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]Bu formül, iki nokta arasındaki yatay farkın karesi ile dikey farkın karesinin toplamının karekökünü alarak elde edilir. Bu, bir dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları bilindiğinde hipotenüsün uzunluğunu bulmaya benzer.
Örnek 1:
A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Burada \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \) ve \( y_2 = 7 \) değerlerini formülde yerine koyalım:
\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \text{ birim} \]2. Doğru Parçasını Belirli Bir Oranda Bölen Nokta ➗
Bir doğru parçasını içten veya dıştan belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak da analitik geometride sıkça karşımıza çıkar.
2.1. Doğru Parçasını İçten Bölen Nokta
A\( (x_1, y_1) \) ve B\( (x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren [AB] doğru parçasını, \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{m}{n} \) oranında içten bölen C noktasının koordinatları \( (x, y) \) şu formüllerle bulunur:
\[ x = \frac{n \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m + n} \] \[ y = \frac{n \cdot y_1 + m \cdot y_2}{m + n} \]Burada \( m \) ve \( n \) pozitif gerçek sayılardır ve \( m+n \neq 0 \) olmalıdır.
Örnek 2:
A(1, 2) ve B(7, 8) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{2} \) oranında içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Burada \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \), \( x_2 = 7 \), \( y_2 = 8 \), \( m = 1 \) ve \( n = 2 \) değerlerini formüllerde yerine koyalım:
\[ x = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 7}{1 + 2} = \frac{2 + 7}{3} = \frac{9}{3} = 3 \] \[ y = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{1 + 2} = \frac{4 + 8}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]Dolayısıyla C noktasının koordinatları (3, 4) olur.
2.2. Doğru Parçasını Dıştan Bölen Nokta
A\( (x_1, y_1) \) ve B\( (x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren [AB] doğru parçasını, \( \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{m}{n} \) oranında dıştan bölen C noktasının koordinatları \( (x, y) \) şu formüllerle bulunur:
\[ x = \frac{n \cdot x_1 - m \cdot x_2}{n - m} \] \[ y = \frac{n \cdot y_1 - m \cdot y_2}{n - m} \]Burada \( m \) ve \( n \) pozitif gerçek sayılardır ve \( n - m \neq 0 \) olmalıdır. Bu formüller, içten bölme formüllerindeki \( m \) yerine \( -m \) konularak da elde edilebilir.
Örnek 3:
A(1, 3) ve B(4, 9) noktalarını birleştiren doğru parçasını \( \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{2}{1} \) oranında dıştan bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz.
Burada \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 9 \), \( m = 2 \) ve \( n = 1 \) değerlerini formüllerde yerine koyalım:
\[ x = \frac{1 \cdot 1 - 2 \cdot 4}{1 - 2} = \frac{1 - 8}{-1} = \frac{-7}{-1} = 7 \] \[ y = \frac{1 \cdot 3 - 2 \cdot 9}{1 - 2} = \frac{3 - 18}{-1} = \frac{-15}{-1} = 15 \]Dolayısıyla C noktasının koordinatları (7, 15) olur.
Önemli Notlar 📝
- İki nokta arasındaki uzaklık hesaplanırken noktaların yerlerinin değişmesi formül sonucunu etkilemez, çünkü farkların karesi alınır.
- Doğru parçasını bölen noktanın koordinatları bulunurken, oranların (m ve n) hangi noktadan başlayıp hangi noktaya gittiği dikkatlice belirlenmelidir.
- Oranlar, doğru parçası üzerindeki mesafelerin oranıdır.