📄 10. Sınıf Matematik: İki nokta arası uzaklık ve doğru parçasını bölme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayalım. \( A(x_1, y_1) = (-1, -2) \) ve \( B(x_2, y_2) = (5, 6) \) olmak üzere, uzaklık formülü \( |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \) şeklindedir. \( |AB| = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{(5+1)^2 + (6+2)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) birimdir.

Şimdi \( [AB] \) doğru parçasını \( 2:1 \) oranında içten bölen \( C(x, y) \) noktasının koordinatlarını bulalım. \( m=2 \) ve \( n=1 \) alınır. İçten bölme formülleri şunlardır: \( x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n} \) ve \( y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n} \).

Koordinatları yerine koyarsak:
\( x = \frac{1(-1) + 2(5)}{2+1} = \frac{-1 + 10}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
\( y = \frac{1(-2) + 2(6)}{2+1} = \frac{-2 + 12}{3} = \frac{10}{3} \)
Dolayısıyla, \( C \) noktasının koordinatları \( \left( 3, \frac{10}{3} \right) \) olur.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle orta noktanın koordinatlarını bulalım. Orta nokta formülü \( M \left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right) \) şeklindedir. \( A(2, 7) \) ve \( B(8, 1) \) için:
Orta Nokta X koordinatı: \( \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)
Orta Nokta Y koordinatı: \( \frac{7+1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
Bu durumda orta nokta \( (5, 4) \) olur.

Şimdi doğru parçasını \( 1:2 \) oranında dıştan bölen \( D(x, y) \) noktasının koordinatlarını bulalım. Burada \( m=1 \) ve \( n=2 \) alınır. Dıştan bölme formülleri:
\( x = \frac{nx_1 - mx_2}{n-m} \) ve \( y = \frac{ny_1 - my_2}{n-m} \).

Koordinatları yerine koyarsak:
\( x = \frac{2(2) - 1(8)}{2-1} = \frac{4 - 8}{1} = -4 \)
\( y = \frac{2(7) - 1(1)}{2-1} = \frac{14 - 1}{1} = 13 \)
Dolayısıyla, \( D \) noktasının koordinatları \( (-4, 13) \) olur.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen bilgilerle uzaklık formülünü kullanacağız. \( A(x_1, y_1) = (2, 3) \) ve \( B(x_2, y_2) = (5, y) \). Uzaklık \( |AB| = \sqrt{52} \) birimdir.
Uzaklık formülü: \( |AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \).
Değerleri yerine koyarsak:
\( \sqrt{52} = \sqrt{(5-2)^2 + (y-3)^2} \)
Her iki tarafın karesini alırsak:
\( 52 = (3)^2 + (y-3)^2 \)
\( 52 = 9 + (y-3)^2 \)
\( 52 - 9 = (y-3)^2 \)
\( 43 = (y-3)^2 \)
Bu adımda bir hata olduğunu fark ediyoruz. Soruda verilen uzaklık \( \sqrt{52} \) ve noktaların farklarından birinin karesi 9 ise, diğer farkın karesi 43 olmalıdır. Ancak \( (y-3)^2 = 43 \) denkleminden tam sayı bir y değeri çıkmaz. Soruda bir yazım hatası olabileceğini varsayarak, eğer uzaklık \( \sqrt{45} \) olsaydı, \( 45 = 9 + (y-3)^2 \) yani \( (y-3)^2 = 36 \) olurdu. Bu durumda \( y-3 = 6 \) veya \( y-3 = -6 \) olurdu. Buradan \( y=9 \) veya \( y=-3 \) bulunabilirdi.

Ancak sorudaki \( \sqrt{52} \) değerini kullanarak devam edersek:
\( (y-3)^2 = 43 \)
Bu durumda \( y-3 = \sqrt{43} \) veya \( y-3 = -\sqrt{43} \) olur.
Buradan \( y = 3 + \sqrt{43} \) veya \( y = 3 - \sqrt{43} \) bulunur. Soruda genellikle tam sayı veya rasyonel sayılar beklendiği için, sorunun orijinal halinde bir kontrol yapılması önerilir. Eğer sorunun orijinal hali doğru ise, cevap \( 3 + \sqrt{43} \) veya \( 3 - \sqrt{43} \) olur.