🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar Ve Nicel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar Ve Nicel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Karesel fonksiyonlar, gerçek hayattaki birçok durumu modellemek için kullanılır! 💡
Aşağıda verilen karesel fonksiyonun katsayılarını (a, b, c) belirleyiniz ve parabolün kollarının yönünü açıklayınız.
\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)
Aşağıda verilen karesel fonksiyonun katsayılarını (a, b, c) belirleyiniz ve parabolün kollarının yönünü açıklayınız.
\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)
Çözüm:
Bu tür bir fonksiyonda katsayıları belirlemek ve kolların yönünü bulmak oldukça kolaydır. İşte adımlar:
- 👉 Bir karesel fonksiyonun genel gösterimi \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir.
- ✅ Verilen fonksiyon \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \) ile karşılaştırıldığında:
- a katsayısı: \( x^2 \) teriminin önündeki sayıdır. Bu durumda \( a = 3 \).
- b katsayısı: \( x \) teriminin önündeki sayıdır. Bu durumda \( b = -5 \).
- c katsayısı: Sabit terimdir. Bu durumda \( c = 2 \).
- 📌 Parabolün kollarının yönü a katsayısının işaretine bağlıdır:
- Eğer \( a > 0 \) ise, parabolün kolları yukarı doğru açılır.
- Eğer \( a < 0 \) ise, parabolün kolları aşağı doğru açılır.
- Sonucumuz: Bizim fonksiyonumuzda \( a = 3 \) ve \( 3 > 0 \) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğru açılır. ✅
Örnek 2:
Karesel fonksiyonların grafiğini çizerken eksenleri kestiği noktaları bulmak önemlidir. 📌
\( f(x) = x^2 - 7x + 10 \) fonksiyonunun y-eksenini ve x-eksenini kestiği noktaların koordinatlarını bulunuz.
\( f(x) = x^2 - 7x + 10 \) fonksiyonunun y-eksenini ve x-eksenini kestiği noktaların koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Eksenleri kestiği noktaları bulmak, bir parabolün grafiğini anlamanın temel adımlarından biridir.
- 1. Y-eksenini Kestiği Noktayı Bulma:
- 👉 Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x \) yerine \( 0 \) yazılır.
- \( f(0) = (0)^2 - 7(0) + 10 \)
- \( f(0) = 0 - 0 + 10 \)
- \( f(0) = 10 \)
- ✅ Yani, parabol y-eksenini \( (0, 10) \) noktasında keser.
- 2. X-eksenini Kestiği Noktaları Bulma:
- 👉 Bir fonksiyonun x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) \) yerine \( 0 \) yazılır (yani \( y = 0 \) kabul edilir).
- \( x^2 - 7x + 10 = 0 \)
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları \( 10 \), toplamları \( -7 \) olan iki sayı \( -2 \) ve \( -5 \)'tir.
- \( (x - 2)(x - 5) = 0 \)
- Buradan iki çözüm gelir:
- \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
- \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \)
- ✅ Yani, parabol x-eksenini \( (2, 0) \) ve \( (5, 0) \) noktalarında keser.
Örnek 3:
Karesel fonksiyonların en önemli özelliklerinden biri tepe noktasıdır. 💡 Tepe noktası, parabolün döndüğü noktadır ve maksimum veya minimum değerini ifade eder.
\( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
\( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun tepe noktasının koordinatları \( T(R, K) \) olarak gösterilir.
- 1. R değerini (simetri ekseni) bulma:
- 👉 \( R \) değeri, \( R = -\frac{b}{2a} \) formülüyle bulunur.
- Verilen fonksiyon \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) olduğundan, \( a = -1 \) ve \( b = 6 \).
- \( R = -\frac{6}{2(-1)} \)
- \( R = -\frac{6}{-2} \)
- \( R = 3 \)
- 2. K değerini (fonksiyonun tepe noktası değeri) bulma:
- 👉 \( K \) değeri, \( f(R) \) yani \( R \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bulunur.
- \( K = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 \)
- \( K = -9 + 18 - 5 \)
- \( K = 9 - 5 \)
- \( K = 4 \)
- ✅ Buna göre, fonksiyonun tepe noktası \( T(3, 4) \)'tür.
Örnek 4:
Karesel fonksiyonlar, günlük hayatta bir olayın en yüksek veya en düşük noktasını bulmak için kullanılabilir. 📈📉
\( f(x) = 2x^2 - 8x + 11 \) fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
\( f(x) = 2x^2 - 8x + 11 \) fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun en küçük veya en büyük değeri, parabolün tepe noktasının y-koordinatı (K değeri) ile bulunur.
- 1. Parabolün kollarının yönünü kontrol etme:
- 👉 Fonksiyon \( f(x) = 2x^2 - 8x + 11 \) olduğundan, \( a = 2 \).
- \( a > 0 \) olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu da fonksiyonun bir en küçük değere sahip olduğu anlamına gelir.
- En küçük değer, tepe noktasının K-koordinatıdır.
- 2. Tepe noktasının R değerini bulma:
- \( R = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
- \( a = 2 \) ve \( b = -8 \).
- \( R = -\frac{-8}{2(2)} \)
- \( R = -\frac{-8}{4} \)
- \( R = 2 \)
- 3. Tepe noktasının K değerini (en küçük değeri) bulma:
- \( K = f(R) \) yani \( R \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bulunur.
- \( K = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 11 \)
- \( K = 2(4) - 16 + 11 \)
- \( K = 8 - 16 + 11 \)
- \( K = -8 + 11 \)
- \( K = 3 \)
- ✅ Buna göre, fonksiyonun en küçük değeri \( 3 \)'tür.
Örnek 5:
Bir parabolün grafiksel özelliklerini (kolların yönü, tepe noktası, simetri ekseni, y-eksenini kestiği nokta) belirlemek, fonksiyonu daha iyi anlamamızı sağlar. 🖼️
\( y = -x^2 - 4x + 1 \) fonksiyonunun grafiğinin genel özelliklerini listeleyiniz. (Grafik çizimi istenmemektedir.)
\( y = -x^2 - 4x + 1 \) fonksiyonunun grafiğinin genel özelliklerini listeleyiniz. (Grafik çizimi istenmemektedir.)
Çözüm:
Parabolün genel özelliklerini adım adım inceleyelim:
- 1. Kolların Yönü:
- 👉 Fonksiyonda \( a = -1 \) olduğu için (\( a < 0 \)), parabolün kolları aşağı doğru açılır.
- 2. Tepe Noktası \( T(R, K) \):
- Önce \( R \) değerini bulalım: \( R = -\frac{b}{2a} \). Burada \( a = -1 \) ve \( b = -4 \).
- \( R = -\frac{-4}{2(-1)} = -\frac{-4}{-2} = -2 \)
- Şimdi \( K \) değerini bulalım: \( K = f(R) = f(-2) \).
- \( K = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -(4) + 8 + 1 = -4 + 8 + 1 = 5 \)
- ✅ Tepe noktası \( T(-2, 5) \)'tir.
- 3. Simetri Ekseni:
- 👉 Simetri ekseni, tepe noktasının x-koordinatından geçen düşey doğrudur.
- ✅ Simetri ekseni denklemi \( x = -2 \)'dir.
- 4. Y-eksenini Kestiği Nokta:
- 👉 Y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) yazılır.
- \( f(0) = -(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 \)
- ✅ Y-eksenini \( (0, 1) \) noktasında keser.
Örnek 6:
Bir karesel fonksiyonun bazı özellikleri verilerek bilinmeyen bir değeri bulmak, "Yeni Nesil" soruların tipik bir örneğidir. 🤔
\( f(x) = x^2 - (m+2)x + 9 \) karesel fonksiyonunun grafiği x-eksenine teğet olduğuna göre, \( m \) değerinin alabileceği değerleri bulunuz.
\( f(x) = x^2 - (m+2)x + 9 \) karesel fonksiyonunun grafiği x-eksenine teğet olduğuna göre, \( m \) değerinin alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun grafiğinin x-eksenine teğet olması, tepe noktasının x-ekseni üzerinde olduğu anlamına gelir. Bu durumda fonksiyonun sadece bir tane kökü vardır ve bu kök tepe noktasının R-koordinatıdır. Ayrıca, tepe noktasının K-koordinatı \( 0 \) olmalıdır.
- 1. Tepe noktasının K-koordinatının \( 0 \) olması gerektiği bilgisi:
- 👉 Eğer bir parabol x-eksenine teğetse, tepe noktasının y-koordinatı (K değeri) \( 0 \) olmalıdır.
- K-koordinatı \( f(R) \) olduğu için, \( f(R) = 0 \) olmalıdır.
- Bu aynı zamanda, ikinci dereceden denklemin diskriminantının \( \Delta = 0 \) olduğu anlamına gelir. (10. Sınıf seviyesinde diskriminant kavramı denklemler konusunda işlenir.)
- 2. Diskriminant (\( \Delta \)) kullanarak çözüm:
- Bir \( ax^2 + bx + c = 0 \) denkleminin x-eksenine teğet olması için \( \Delta = b^2 - 4ac = 0 \) olmalıdır.
- Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 - (m+2)x + 9 \) olduğundan:
- \( a = 1 \)
- \( b = -(m+2) \)
- \( c = 9 \)
- Formülü uygulayalım: \[ (-(m+2))^2 - 4(1)(9) = 0 \] \[ (m+2)^2 - 36 = 0 \] \[ (m+2)^2 = 36 \]
- Şimdi \( m+2 \) için iki olası değer bulalım:
- \( m+2 = 6 \Rightarrow m = 4 \)
- \( m+2 = -6 \Rightarrow m = -8 \)
- ✅ Buna göre, \( m \) değerinin alabileceği değerler \( 4 \) ve \( -8 \)'dir.
Örnek 7:
Bir mühendis, bir köprü kemerinin parabolik şeklini tasarlarken veya bir topun fırlatılmasında maksimum yüksekliği hesaplarken karesel fonksiyonlardan yararlanır. 🎯
Yerden yukarı doğru fırlatılan bir cismin yerden yüksekliği (metre cinsinden), \( t \) saniye sonra \( h(t) = -2t^2 + 12t + 2 \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu cismin ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?
Yerden yukarı doğru fırlatılan bir cismin yerden yüksekliği (metre cinsinden), \( t \) saniye sonra \( h(t) = -2t^2 + 12t + 2 \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Bu cismin ulaşabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?
Çözüm:
Cismin ulaşabileceği maksimum yükseklik, parabolik yolun tepe noktasının y-koordinatı (K değeri) ile bulunur.
- 1. Fonksiyonun katsayılarını belirleme:
- Verilen fonksiyon \( h(t) = -2t^2 + 12t + 2 \).
- Burada \( a = -2 \), \( b = 12 \), \( c = 2 \).
- 2. Kolların yönünü kontrol etme:
- 👉 \( a = -2 \) (\( a < 0 \)) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Bu da cismin bir maksimum yüksekliğe ulaşacağı anlamına gelir.
- Maksimum yükseklik, tepe noktasının K-koordinatıdır.
- 3. Tepe noktasının R değerini (zamanı) bulma:
- \( R = -\frac{b}{2a} \) formülünü kullanırız.
- \( R = -\frac{12}{2(-2)} \)
- \( R = -\frac{12}{-4} \)
- \( R = 3 \)
- Yani, cisim \( 3 \) saniye sonra maksimum yüksekliğe ulaşır.
- 4. Tepe noktasının K değerini (maksimum yüksekliği) bulma:
- \( K = h(R) \) yani \( R \) değerini fonksiyonda yerine yazarak bulunur.
- \( K = h(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 2 \)
- \( K = -2(9) + 36 + 2 \)
- \( K = -18 + 36 + 2 \)
- \( K = 18 + 2 \)
- \( K = 20 \)
- ✅ Buna göre, cismin ulaşabileceği maksimum yükseklik \( 20 \) metredir.
Örnek 8:
Bazen bir parabolün denklemini, verilen bazı özelliklerinden yola çıkarak bizim bulmamız gerekir. ✍️
Tepe noktası \( T(1, -4) \) olan ve \( (0, -3) \) noktasından geçen karesel fonksiyonun denklemini bulunuz.
Tepe noktası \( T(1, -4) \) olan ve \( (0, -3) \) noktasından geçen karesel fonksiyonun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Bir parabolün denklemini tepe noktası ve bir noktasından yola çıkarak bulabiliriz. Tepe noktası bilinen karesel fonksiyon denklemi formülü \( y = a(x-R)^2 + K \) şeklindedir.
- 1. Tepe noktası formülünü kullanma:
- 👉 Tepe noktası \( T(R, K) = T(1, -4) \) verildiği için, \( R = 1 \) ve \( K = -4 \) değerlerini formülde yerine yazalım:
- \( y = a(x-1)^2 + (-4) \)
- \( y = a(x-1)^2 - 4 \)
- 2. Verilen diğer noktayı kullanarak \( a \) değerini bulma:
- 👉 Fonksiyon \( (0, -3) \) noktasından geçtiği için, bu noktayı denklemde yerine yazarak \( a \) değerini bulabiliriz. Burada \( x = 0 \) ve \( y = -3 \).
- \( -3 = a(0-1)^2 - 4 \)
- \( -3 = a(-1)^2 - 4 \)
- \( -3 = a(1) - 4 \)
- \( -3 = a - 4 \)
- \( a = -3 + 4 \)
- \( a = 1 \)
- 3. Fonksiyonun denklemini yazma:
- Bulduğumuz \( a = 1 \) değerini ilk denklemimizde yerine yazalım:
- \( y = 1(x-1)^2 - 4 \)
- Şimdi ifadeyi açarak \( ax^2 + bx + c \) formuna getirelim:
- \( y = (x^2 - 2x + 1) - 4 \)
- \( y = x^2 - 2x - 3 \)
- ✅ Buna göre, tepe noktası \( T(1, -4) \) olan ve \( (0, -3) \) noktasından geçen karesel fonksiyonun denklemi \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)'tür.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-karesel-fonksiyonlar-ve-nicel-ozellikleri/sorular