Gerçek Sayılarda Tanımlı Karesel Fonksiyonlar Ve Nicel Özellikleri Ders Notu

Gerçek sayılarda tanımlı karesel fonksiyonlar, matematiğin önemli bir dalını oluşturur ve birçok doğal olayın modellenmesinde kullanılır. Bu fonksiyonların grafiksel gösterimi parabol olarak adlandırılır ve kendine has nicel özelliklere sahiptir.

Karesel Fonksiyon Nedir? 🧐

a, b, c birer gerçek sayı ve a \neq 0 olmak üzere, bir fonksiyonun kuralı

\[ (x) = ax^2 + bx + c \]

şeklinde ise, bu fonksiyona ikinci dereceden bir değişkenli karesel fonksiyon veya parabol fonksiyonu denir.

• Bu fonksiyonların grafiği bir paraboldür.

Parabolün Yönü ve Katsayıların Etkisi ⬆️⬇️

Karesel fonksiyonun kuralındaki a katsayısı, parabolün kollarının hangi yöne açılacağını belirler:

• Eğer \(a > 0\) ise, parabolün kolları yukarı doğru açılır. Bu durumda fonksiyonun bir minimum değeri vardır.
• Eğer \(a < 0\) ise, parabolün kolları aşağı doğru açılır. Bu durumda fonksiyonun bir maksimum değeri vardır.

Örnek: \((x) = 2x^2 - 3x + 1\) fonksiyonunda \(a = 2 > 0\) olduğundan, parabolün kolları yukarı doğrudur.

Örnek: \((x) = -x^2 + 5x - 4\) fonksiyonunda \(a = -1 < 0\) olduğundan, parabolün kolları aşağı doğrudur.

Parabolün Tepe Noktası (T) ve Simetri Ekseni 🎯

Bir parabolün en önemli noktalarından biri tepe noktasıdır. Tepe noktası, parabolün simetri ekseni üzerinde bulunur ve parabolün minimum veya maksimum değerini aldığı noktadır.

Tepe Noktası Koordinatları \(T(r, k)\)

Tepe noktasının apsisi \(r\) ve ordinatı \(k\) aşağıdaki formüllerle bulunur:

• Apsis (r): \[ r = -\frac{b}{2a} \]
• Ordinat (k): Tepe noktasının ordinatı, apsis değerinin fonksiyonda yerine yazılmasıyla bulunur. Yani \(k = (r)\) dir.

Örnek: \((x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.

Burada \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\).

Apsis \(r = -\frac{-4}{2 \times 1} = -\frac{-4}{2} = 2\).

Ordinat \(k = (2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\).

Tepe noktası \(T(2, -1)\) dir.

Simetri Ekseni

Parabolün tepe noktasından geçen ve parabolü iki eşit parçaya bölen doğruya simetri ekseni denir. Simetri ekseninin denklemi:

\[ x = r \]

şeklindedir.

Örnek: Yukarıdaki \((x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonu için simetri ekseni \(x = 2\) doğrusudur.

Eksenleri Kestiği Noktalar 📏

y-ekseni Kesim Noktası

Parabolün y-eksenini kestiği noktayı bulmak için fonksiyonda \(x = 0\) yazılır:

\[ (0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \]

Parabol y-eksenini \( (0, c) \) noktasında keser.

Örnek: \((x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonu y-eksenini \( (0, 3) \) noktasında keser.

x-ekseni Kesim Noktaları (Kökler)

Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \((x) = 0\) denklemi çözülür:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Bu denklemin kökleri, parabolün x-eksenini kestiği noktalardır. Köklerin varlığı ve sayısı diskriminant (delta) değeri ile belirlenir.

Diskriminant \(\Delta\) (delta) değeri:

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

• Eğer \(\Delta > 0\) ise, parabol x-eksenini iki farklı noktada keser. Kökler \(x_1\) ve \(x_2\) aşağıdaki formülle bulunur: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]
• Eğer \(\Delta = 0\) ise, parabol x-eksenine bir noktada teğettir (çift katlı kök). Kök \(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur. Bu nokta aynı zamanda tepe noktasıdır.
• Eğer \(\Delta < 0\) ise, parabol x-eksenini kesmez (gerçek kök yoktur).

Örnek 1: \((x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktaları bulalım.

\(x^2 - 4x + 3 = 0\)

Burada \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\).

\(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4\).

\(\Delta = 4 > 0\) olduğundan iki farklı kök vardır:

\(x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm 2}{2}\)

\(x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)

\(x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1\)

Parabol x-eksenini \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \) noktalarında keser.

Örnek 2: \((x) = x^2 - 6x + 9\) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktaları bulalım.

\(x^2 - 6x + 9 = 0\)

Burada \(a=1\), \(b=-6\), \(c=9\).

\(\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0\).

\(\Delta = 0\) olduğundan parabol x-eksenine teğettir (bir kök vardır):

\(x = -\frac{-6}{2 \times 1} = 3\)

Parabol x-eksenine \( (3, 0) \) noktasında teğettir.

Örnek 3: \((x) = x^2 + 2x + 5\) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktaları bulalım.

\(x^2 + 2x + 5 = 0\)

Burada \(a=1\), \(b=2\), \(c=5\).

\(\Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16\).

\(\Delta = -16 < 0\) olduğundan parabol x-eksenini kesmez.

Karesel Fonksiyonların En Büyük/En Küçük Değeri 📈📉

Karesel fonksiyonlar, tepe noktalarının ordinatına (\(k\)) bağlı olarak en büyük veya en küçük değere sahiptir.

• Eğer \(a > 0\) ise (kollar yukarı), parabolün tepe noktası bir minimum noktasıdır. Fonksiyonun alabileceği en küçük değer \(k\) dir. Bu fonksiyonun en büyük değeri yoktur.
• Eğer \(a < 0\) ise (kollar aşağı), parabolün tepe noktası bir maksimum noktasıdır. Fonksiyonun alabileceği en büyük değer \(k\) dir. Bu fonksiyonun en küçük değeri yoktur.

Bu değer, tepe noktasının ordinatı olan \(k\) değeridir.

Örnek 1: \((x) = x^2 - 4x + 3\) fonksiyonunun en küçük değerini bulalım.

Bu fonksiyonda \(a = 1 > 0\) olduğundan, fonksiyonun bir en küçük değeri vardır. Tepe noktasının apsisi \(r = 2\) ve ordinatı \(k = -1\) olarak bulunmuştu.

Bu fonksiyonun en küçük değeri \(-1\) dir.

Örnek 2: \((x) = -2x^2 + 8x - 5\) fonksiyonunun en büyük değerini bulalım.

Burada \(a = -2 < 0\) olduğundan, fonksiyonun bir en büyük değeri vardır.

Önce tepe noktasının apsisini bulalım: \(r = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2\).

Şimdi tepe noktasının ordinatını bulalım: \(k = (2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -2(4) + 16 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3\).

Bu fonksiyonun en büyük değeri \(3\) tür.