🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Tanım kümesi \( A = \{1, 2, 3\} \) ve değer kümesi \( B = \{a, b, c, d\} \) olan bir \( f \) fonksiyonu, \( f(1) = a \), \( f(2) = b \), \( f(3) = c \) şeklinde tanımlanmıştır.
Bu fonksiyon birebir bir fonksiyon mudur? Nedenini açıklayınız. 💡
Çözüm:
Bu fonksiyonu inceleyelim:
- Fonksiyonun tanım kümesindeki her farklı elemanı, değer kümesinde farklı bir elemana eşlemesi gerekir ki birebir olsun.
- \( f(1) = a \), \( f(2) = b \), \( f(3) = c \) ifadelerine baktığımızda, tanım kümesindeki 1, 2 ve 3 elemanlarının her biri, değer kümesinde farklı olan a, b ve c elemanlarına eşlenmiştir.
- Bu nedenle, f fonksiyonu birebirdir. ✅
Örnek 2:
Tanım kümesi \( A = \{-1, 0, 1\} \) ve değer kümesi \( B = \{0, 1\} \) olan bir \( g \) fonksiyonu, \( g(x) = x^2 \) kuralı ile veriliyor.
Bu fonksiyon örten bir fonksiyon mudur? Nedenini açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Fonksiyonun örten olup olmadığını kontrol edelim:
- Örten bir fonksiyon olması için değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
- Fonksiyonun kuralı \( g(x) = x^2 \) olduğundan, tanım kümesindeki elemanların görüntülerini hesaplayalım:
- \( g(-1) = (-1)^2 = 1 \)
- \( g(0) = (0)^2 = 0 \)
- \( g(1) = (1)^2 = 1 \)
- Fonksiyonun görüntü kümesi \( \{0, 1\} \) olur.
- Değer kümesi \( B = \{0, 1\} \) idi. Görüntü kümesi ile değer kümesi aynı olduğu için fonksiyon örtendir. ✅
Örnek 3:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = 5 \) fonksiyonu veriliyor.
Bu fonksiyonun sabit fonksiyon olup olmadığını ve birebir olup olmadığını belirtiniz. 🧐
Çözüm:
Fonksiyonun özelliklerini inceleyelim:
- Sabit Fonksiyon: Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüsünün aynı sabit sayıya eşit olması gerekir.
- \( f(x) = 5 \) fonksiyonunda, tanım kümesinden hangi \( x \) değerini alırsak alalım, sonuç her zaman 5'tir. Bu nedenle \( f(x) \) sabit bir fonksiyondur. 💯
- Birebir Fonksiyon: Bir fonksiyonun birebir olabilmesi için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı olmalıdır.
- \( f(x) = 5 \) fonksiyonunda, örneğin \( f(1) = 5 \) ve \( f(2) = 5 \) olur. Tanım kümesindeki farklı elemanlar (1 ve 2) aynı görüntüye (5) sahiptir. Bu nedenle \( f(x) \) birebir değildir. ❌
Örnek 4:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = x \) fonksiyonu veriliyor.
Bu fonksiyonun birim fonksiyon olup olmadığını ve örten olup olmadığını açıklayınız. 🚀
Çözüm:
Fonksiyonun özelliklerini analiz edelim:
- Birim Fonksiyon: Bir fonksiyonun birim fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her elemanın görüntüsünün kendisine eşit olması gerekir. Yani \( f(x) = x \) olmalıdır.
- \( f(x) = x \) fonksiyonu, tanım kümesindeki her \( x \) elemanını yine \( x \) elemanına eşlediği için birim fonksiyondur. ✅
- Örten Fonksiyon: Bir fonksiyonun örten olabilmesi için değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olması gerekir.
- \( f(x) = x \) fonksiyonunda, değer kümesindeki herhangi bir \( y \) elemanını alırsak, tanım kümesindeki \( x = y \) elemanının görüntüsü \( f(y) = y \) olacaktır. Bu nedenle, değer kümesindeki her elemanın bir karşılığı vardır ve fonksiyon örtendir. 💯
Örnek 5:
Bir teknoloji mağazasında satılan akıllı saatlerin fiyatları, üretim maliyetlerine göre belirlenmektedir. Mağazanın belirlediği fiyatlandırma fonksiyonu \( f(m) = 2m + 50 \) şeklindedir. Burada \( m \) akıllı saatin üretim maliyetini (TL cinsinden) ve \( f(m) \) ise satış fiyatını (TL cinsinden) göstermektedir.
Üretim maliyeti 100 TL olan bir akıllı saatin satış fiyatı kaç TL olur? Bu fonksiyon birebir midir? 💰
Çözüm:
Soruyu adım adım çözelim:
- Satış Fiyatını Hesaplama:
- Üretim maliyeti \( m = 100 \) TL olarak verilmiş.
- Fonksiyonu kullanarak satış fiyatını bulalım: \( f(100) = 2 \times 100 + 50 = 200 + 50 = 250 \) TL.
- Yani, üretim maliyeti 100 TL olan akıllı saatin satış fiyatı 250 TL'dir.
- Fonksiyonun Birebir Olup Olmadığı:
- Fonksiyonumuz \( f(m) = 2m + 50 \) şeklindedir. Bu, \( f(m) \) doğrusal bir fonksiyondur ve eğimi sıfırdan farklıdır (eğim 2'dir).
- Doğrusal fonksiyonlarda eğim sıfırdan farklıysa, fonksiyon her zaman birebirdir. Çünkü farklı üretim maliyetleri (farklı \( m \) değerleri) farklı satış fiyatlarına (farklı \( f(m) \) değerleri) yol açar.
- Örneğin, \( m_1 \neq m_2 \) ise \( 2m_1 + 50 \neq 2m_2 + 50 \) olur.
- Bu nedenle, bu fiyatlandırma fonksiyonu birebirdir. ✅
Örnek 6:
Bir kütüphanede, ödünç alınan kitap sayısına göre uygulanacak gecikme cezası bir fonksiyon ile belirlenmektedir. Eğer bir kitap 1 ila 5 gün arası gecikirse günlük 2 TL, 6 ila 10 gün arası gecikirse günlük 3 TL ceza uygulanıyor.
Bu durumu bir fonksiyon olarak ifade edebilir miyiz? Bu fonksiyon birebir veya örten midir? (Gecikme gün sayısı pozitif tam sayıdır.) 📚
Çözüm:
Verilen durumu bir fonksiyon olarak inceleyelim:
- Tanım kümesi: Gecikme gün sayısı (pozitif tam sayılar).
- Değer kümesi: Uygulanacak günlük gecikme cezası (TL).
- Fonksiyon kuralını gecikme gün sayısına göre belirleyelim:
- Eğer gecikme gün sayısı \( x \) ise:
- \( 1 \le x \le 5 \) ise, günlük ceza 2 TL'dir.
- \( 6 \le x \le 10 \) ise, günlük ceza 3 TL'dir.
- Birebir mi?
- Hayır, bu fonksiyon birebir değildir. Örneğin, 1 günlük gecikme için günlük ceza 2 TL'dir ve 2 günlük gecikme için de günlük ceza 2 TL'dir. Tanım kümesindeki farklı elemanlar (1 gün ve 2 gün) aynı görüntüye (2 TL) sahiptir. ❌
- Örten mi?
- Bu fonksiyon örten değildir. Değer kümesinde örneğin 1 TL, 4 TL gibi cezalar olmayacaktır. Sadece 2 TL ve 3 TL gibi değerler alınabilir. Değer kümesindeki tüm elemanlar, tanım kümesindeki elemanların görüntüsü değildir. ❌
Örnek 7:
\( f: A \to B \) bir fonksiyon olmak üzere, \( A = \{x | x \in \mathbb{Z}, -2 < x < 3\} \) ve \( B = \{y | y \in \mathbb{Z}, 0 < y < 10\} \) kümeleri verilmiştir.
Eğer \( f(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonu hem birebir hem de örten ise, bu koşulları sağlayan tanım ve değer kümeleri için birer örnek veriniz. (Bu örnekte verilen A ve B kümeleri kullanılmayacaktır.) 🎯
Çözüm:
Hem birebir hem de örten fonksiyon koşullarını sağlayan kümeler bulalım:
- Birebir Fonksiyon Koşulu: Tanım kümesindeki farklı elemanlar, değer kümesinde farklı elemanlara eşlenmelidir.
- Örten Fonksiyon Koşulu: Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü olmalıdır.
- Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 + 1 \) olsun.
- Örnek 1: Birebir ve Örten Fonksiyon Oluşturma
- Eğer tanım kümesini sadece pozitif tam sayılar alırsak, \( x^2 \) değeri de artacaktır.
- Tanım Kümesi (A'): \( A' = \{1, 2, 3\} \) olsun.
- Bu tanım kümesi için görüntüleri hesaplayalım:
- \( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \)
- \( f(2) = 2^2 + 1 = 5 \)
- \( f(3) = 3^2 + 1 = 10 \)
- Görüntü kümesi \( \{2, 5, 10\} \) olur.
- Şimdi bu görüntü kümesini kapsayan ve örtenliği sağlayacak bir değer kümesi seçelim.
- Değer Kümesi (B'): \( B' = \{2, 5, 10\} \) olsun.
- Bu durumda \( f: A' \to B' \) fonksiyonu hem birebirdir (farklı elemanlar farklı görüntülere sahip) hem de örtendir (değer kümesindeki her eleman görüntü kümesinde mevcut). ✅
- Örnek 2: Farklı Kümelerle
- Tanım Kümesi (A''): \( A'' = \{0, 1, 2\} \) olsun.
- Görüntüleri hesaplayalım:
- \( f(0) = 0^2 + 1 = 1 \)
- \( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \)
- \( f(2) = 2^2 + 1 = 5 \)
- Görüntü kümesi \( \{1, 2, 5\} \) olur.
- Değer Kümesi (B''): \( B'' = \{1, 2, 5\} \) olsun.
- Bu durumda \( f: A'' \to B'' \) fonksiyonu da hem birebirdir hem de örtendir. ✅
Örnek 8:
Bir grafik tasarımcı, bir logonun farklı boyutlardaki taslaklarını oluşturmaktadır. Taslakların maliyeti, logonun genişliği ile doğru orantılıdır ve sabit bir başlangıç ücreti eklenmektedir. Bu ilişki \( C(w) = 3w + 20 \) fonksiyonu ile ifade edilebilir. Burada \( w \) logonun genişliğini (cm cinsinden) ve \( C(w) \) ise tasarım maliyetini (TL cinsinden) temsil etmektedir.
Eğer tasarımcı, 5 cm genişliğindeki bir taslak için 35 TL, 10 cm genişliğindeki bir taslak için 50 TL ücretlendirme yapsaydı, bu durum \( C(w) = 3w + 20 \) fonksiyonu ile uyumlu olur muydu? Bu fonksiyonun birebir olması ne anlama gelir? 🎨
Çözüm:
Verilen bilgileri ve fonksiyonu karşılaştıralım:
- Fonksiyon Uyumluluğu Kontrolü:
- Verilen fonksiyon: \( C(w) = 3w + 20 \)
- Tasarımcı 1: Genişlik \( w = 5 \) cm, Maliyet \( C(5) = 3 \times 5 + 20 = 15 + 20 = 35 \) TL. Bu, verilen bilgilerle uyumludur. ✅
- Tasarımcı 2: Genişlik \( w = 10 \) cm, Maliyet \( C(10) = 3 \times 10 + 20 = 30 + 20 = 50 \) TL. Bu da verilen bilgilerle uyumludur. ✅
- Her iki durum da verilen \( C(w) = 3w + 20 \) fonksiyonu ile uyumludur.
- Fonksiyonun Birebir Olmasının Anlamı:
- \( C(w) = 3w + 20 \) fonksiyonu birebirdir çünkü bu doğrusal bir fonksiyondur ve eğimi (3) sıfırdan farklıdır.
- Bu durumun pratik anlamı şudur: Farklı genişliklerdeki (farklı \( w \) değerleri) her bir logo taslağı, kendine özgü ve farklı bir maliyete (farklı \( C(w) \) değeri) sahip olacaktır.
- Yani, iki farklı genişlikte taslak oluşturulursa, bu iki taslağın maliyetleri asla aynı olmaz. Bu, tasarımcı için maliyetleri net bir şekilde belirlemesini sağlar. 💯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-fonksiyonlar-ve-nitel-ozellikleri/sorular