🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlar, Nitel Özellikleri Ve Ters Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Gerçek Sayılarda Tanımlı Fonksiyonlar, Nitel Özellikleri Ve Ters Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir? Tanım, değer ve görüntü kümesini belirtiniz. 💡
a) \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(x) = \frac{x+1}{2}\)
b) \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2 - 3\)
c) \(h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(h(x) = x-5\)
Çözüm:
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde yalnız bir elemanla eşleşmesi gerekir. 📌
- a) \(f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(f(x) = \frac{x+1}{2}\)
- 👉 Tanım kümesi \(\mathbb{Z}\) (tam sayılar) olduğundan, örneğin \(x=2\) için \(f(2) = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}\) bulunur. Ancak \(\frac{3}{2}\) bir tam sayı değildir, yani değer kümesi \(\mathbb{Z}\) içinde değildir. Bu durumda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinde bir karşılık bulamaz.
- ✅ Bu bağıntı fonksiyon değildir.
- b) \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2 - 3\)
- 👉 Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) (gerçek sayılar) olduğundan, her \(x\) gerçek sayısı için \(x^2 - 3\) de bir gerçek sayıdır. Her \(x\) için yalnız bir \(x^2 - 3\) değeri vardır.
- ✅ Bu bağıntı fonksiyondur.
- Tanım Kümesi: \(\mathbb{R}\)
- Değer Kümesi: \(\mathbb{R}\)
- Görüntü Kümesi: \(x^2\) en az 0 olabileceği için, \(x^2 - 3\) en az \(-3\) olabilir. Yani görüntü kümesi \([-3, \infty)\) aralığıdır.
- c) \(h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\), \(h(x) = x-5\)
- 👉 Tanım kümesi \(\mathbb{N}\) (doğal sayılar) olduğundan, örneğin \(x=1\) için \(h(1) = 1-5 = -4\) bulunur. Ancak \(-4\) bir doğal sayı değildir, yani değer kümesi \(\mathbb{N}\) içinde değildir.
- ✅ Bu bağıntı fonksiyon değildir.
Örnek 2:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir \(f\) fonksiyonu \(f(x) = 3x - 5\) olarak verilmiştir. Bu fonksiyon için aşağıdaki değerleri hesaplayınız: 🎯
a) \(f(4)\)
b) \(f(-2)\)
c) \(f(a+1)\)
Çözüm:
Fonksiyonun kuralı \(f(x) = 3x - 5\) olduğuna göre, istenen değerleri bulmak için \(x\) yerine ilgili ifadeyi yazmamız yeterlidir. ✅
- a) \(f(4)\) değerini bulmak için \(x\) yerine 4 yazarız.
- b) \(f(-2)\) değerini bulmak için \(x\) yerine -2 yazarız.
- c) \(f(a+1)\) değerini bulmak için \(x\) yerine \(a+1\) yazarız.
\[ f(4) = 3 \cdot (4) - 5 \]
\[ f(4) = 12 - 5 \]
\[ f(4) = 7 \]
\[ f(-2) = 3 \cdot (-2) - 5 \]
\[ f(-2) = -6 - 5 \]
\[ f(-2) = -11 \]
\[ f(a+1) = 3 \cdot (a+1) - 5 \]
\[ f(a+1) = 3a + 3 - 5 \]
\[ f(a+1) = 3a - 2 \]
Örnek 3:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \(f(x) = 2x + 1\) fonksiyonunun birebir ve örten olup olmadığını inceleyiniz. 🤔
Çözüm:
Bir fonksiyonun birebir ve örten olup olmadığını anlamak için tanımları kullanırız. 📌
- Birebir Fonksiyon (İnjeksiyon): Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklıysa, yani \(f(x_1) = f(x_2)\) iken \(x_1 = x_2\) oluyorsa fonksiyon birebirdir.
- 👉 Diyelim ki \(f(x_1) = f(x_2)\) olsun.
- Her iki taraftan 1 çıkarırsak:
- Her iki tarafı 2'ye bölersek:
- ✅ Görüldüğü gibi, \(f(x_1) = f(x_2)\) eşitliği sadece \(x_1 = x_2\) durumunda geçerlidir. Bu nedenle \(f(x) = 2x + 1\) fonksiyonu birebirdir.
- Örten Fonksiyon (Sürjeksiyon): Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsü oluyorsa fonksiyon örtendir. Yani görüntü kümesi, değer kümesine eşitse fonksiyon örtendir.
- 👉 Değer kümemiz \(\mathbb{R}\) (gerçek sayılar)dır. Görüntü kümesinin de \(\mathbb{R}\) olup olmadığını kontrol edelim.
- Herhangi bir \(y \in \mathbb{R}\) için, \(f(x) = y\) eşitliğini sağlayan bir \(x \in \mathbb{R}\) bulabiliyor muyuz?
- Herhangi bir \(y\) gerçek sayısı için \(\frac{y-1}{2}\) de bir gerçek sayıdır. Bu, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde bir karşılığı olduğu anlamına gelir.
- ✅ Bu nedenle \(f(x) = 2x + 1\) fonksiyonu örtendir.
\[ 2x_1 + 1 = 2x_2 + 1 \]
\[ 2x_1 = 2x_2 \]
\[ x_1 = x_2 \]
\[ 2x + 1 = y \]
\[ 2x = y - 1 \]
\[ x = \frac{y-1}{2} \]
Örnek 4:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \(f(x) = x^2 - 4\) ve \(g(x) = 3x + 2\) fonksiyonları veriliyor. Buna göre aşağıdaki fonksiyonları bulunuz: 📝
a) \((f+g)(x)\)
b) \((f-g)(x)\)
Çözüm:
Fonksiyonlarda dört işlem yaparken, fonksiyonların kurallarını doğrudan toplar veya çıkarırız. ➕➖
- a) \((f+g)(x)\) demek \(f(x) + g(x)\) demektir.
- b) \((f-g)(x)\) demek \(f(x) - g(x)\) demektir. İşlem yaparken ikinci fonksiyonu parantez içinde yazmaya dikkat edelim.
\[ (f+g)(x) = f(x) + g(x) \]
\[ (f+g)(x) = (x^2 - 4) + (3x + 2) \]
\[ (f+g)(x) = x^2 + 3x - 4 + 2 \]
\[ (f+g)(x) = x^2 + 3x - 2 \]
\[ (f-g)(x) = f(x) - g(x) \]
\[ (f-g)(x) = (x^2 - 4) - (3x + 2) \]
\[ (f-g)(x) = x^2 - 4 - 3x - 2 \]
\[ (f-g)(x) = x^2 - 3x - 6 \]
Örnek 5:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \(f(x) = 2x - 3\) ve \(g(x) = 4x + 1\) fonksiyonları veriliyor. Buna göre \((f \circ g)(x)\) ve \((g \circ f)(x)\) bileşke fonksiyonlarını bulunuz. 🔗
Çözüm:
Bileşke fonksiyon \((f \circ g)(x)\) ifadesi \(f(g(x))\) anlamına gelirken, \((g \circ f)(x)\) ifadesi \(g(f(x))\) anlamına gelir. İçteki fonksiyonun kuralını dıştaki fonksiyonda \(x\) yerine yazarız. 👇
- a) \((f \circ g)(x)\) ifadesini bulalım.
- Burada \(g(x) = 4x + 1\) olduğu için, \(f\) fonksiyonunda \(x\) yerine \(4x+1\) yazmalıyız.
- b) \((g \circ f)(x)\) ifadesini bulalım.
- Burada \(f(x) = 2x - 3\) olduğu için, \(g\) fonksiyonunda \(x\) yerine \(2x-3\) yazmalıyız.
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
\[ f(4x+1) = 2(4x+1) - 3 \]
\[ f(4x+1) = 8x + 2 - 3 \]
\[ (f \circ g)(x) = 8x - 1 \]
\[ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \]
\[ g(2x-3) = 4(2x-3) + 1 \]
\[ g(2x-3) = 8x - 12 + 1 \]
\[ (g \circ f)(x) = 8x - 11 \]
Örnek 6:
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \(f(x) = 5x - 7\) fonksiyonunun ters fonksiyonu olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz. 🔄
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için, \(f(x)\) yerine \(y\) yazarız ve \(x\) ile \(y\)'nin yerini değiştirerek \(y\)'yi yalnız bırakırız. 💡
- 1. Adım: \(f(x)\) yerine \(y\) yazalım.
- 2. Adım: \(x\)'i \(y\) cinsinden yalnız bırakalım.
- 3. Adım: \(x\) ve \(y\)'nin yerini değiştirelim. Elde ettiğimiz ifade \(f^{-1}(x)\) olacaktır.
- ✅ Böylece \(f(x) = 5x - 7\) fonksiyonunun tersi \(f^{-1}(x) = \frac{x+7}{5}\) olarak bulunur.
\[ y = 5x - 7 \]
\[ y + 7 = 5x \]
\[ x = \frac{y+7}{5} \]
\[ f^{-1}(x) = \frac{x+7}{5} \]
Örnek 7:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 15 TL'dir ve her kilometre için 8 TL ücret alınmaktadır. Gidilen yol \(x\) kilometre olmak üzere, ödenecek toplam ücreti gösteren fonksiyonu \(f(x)\) olarak ifade ediniz ve 12 km yolculuk için kaç TL ödeneceğini bulunuz. 🚕💰
Çözüm:
Bu tür problemleri fonksiyon olarak ifade ederken, sabit bir başlangıç değeri ve değişkene bağlı artan bir değeri göz önünde bulundururuz. 🛣️
- 1. Adım: Fonksiyonu tanımlayalım.
- Açılış ücreti sabit bir değerdir: 15 TL.
- Her kilometre için alınan ücret değişkene bağlıdır: \(8 \cdot x\) TL.
- Ödenecek toplam ücret \(f(x)\) bu iki değerin toplamıdır.
- Burada \(x\) gidilen kilometre cinsinden bir gerçek sayıdır (\(x \ge 0\)).
- 2. Adım: 12 km yolculuk için ödenecek ücreti hesaplayalım.
- \(x\) yerine 12 yazarak \(f(12)\) değerini buluruz.
- ✅ Yani 12 km yolculuk için 111 TL ödenir.
\[ f(x) = 8x + 15 \]
\[ f(12) = 8 \cdot (12) + 15 \]
\[ f(12) = 96 + 15 \]
\[ f(12) = 111 \]
Örnek 8:
Bir fırın, ürettiği ekmek sayısına (\(x\)) bağlı olarak toplam maliyetini \(M(x) = 2.5x + 500\) TL fonksiyonu ile hesaplamaktadır. Burada 500 TL sabit giderleri (kira, maaş vb.) ve 2.5 TL ise her ekmeğin üretim maliyetini göstermektedir.
Buna göre, toplam maliyeti 1500 TL olan bir günde fırının kaç adet ekmek ürettiğini bulmak için kullanılabilecek ters fonksiyonu \(M^{-1}(x)\) bulunuz ve bu değeri hesaplayınız. 🍞💸
Buna göre, toplam maliyeti 1500 TL olan bir günde fırının kaç adet ekmek ürettiğini bulmak için kullanılabilecek ters fonksiyonu \(M^{-1}(x)\) bulunuz ve bu değeri hesaplayınız. 🍞💸
Çözüm:
Bu örnekte, maliyetin ekmek sayısına bağlı bir fonksiyon olduğunu görüyoruz. Ters fonksiyonu kullanarak, belirli bir maliyetle kaç ekmek üretildiğini bulabiliriz. 🔄
- 1. Adım: Maliyet fonksiyonunu \(y\) ile ifade edip tersini bulalım.
- \(x\)'i yalnız bırakalım:
- \(x\) ve \(y\)'nin yerini değiştirerek ters fonksiyonu elde edelim:
- ✅ Bu ters fonksiyon, verilen maliyet (\(x\)) karşılığında kaç adet ekmek (\(M^{-1}(x)\)) üretildiğini gösterir.
- 2. Adım: Toplam maliyetin 1500 TL olduğu bir günde kaç ekmek üretildiğini bulalım.
- Yani \(x\) yerine 1500 yazarak \(M^{-1}(1500)\) değerini hesaplayalım.
- ✅ Toplam maliyetin 1500 TL olduğu bir günde fırın 400 adet ekmek üretmiştir.
\[ y = 2.5x + 500 \]
\[ y - 500 = 2.5x \]
\[ x = \frac{y - 500}{2.5} \]
\[ M^{-1}(x) = \frac{x - 500}{2.5} \]
\[ M^{-1}(1500) = \frac{1500 - 500}{2.5} \]
\[ M^{-1}(1500) = \frac{1000}{2.5} \]
\[ M^{-1}(1500) = 400 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-gercek-sayilarda-tanimli-fonksiyonlar-nitel-ozellikleri-ve-ters-fonksiyonlar/sorular