💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar İle İlgili Problemler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar İle İlgili Problemler Çözümlü Örnekler
- 📌 Adım 1: Fonksiyonu ve istenen değeri belirleyelim.
- 💡 Adım 2: Fonksiyon tanımında \( x \) yerine \( 4 \) yazalım.
- ✅ Adım 3: İşlemi tamamlayarak sonucu bulalım. \[ f(4) = 12 - 5 \] \[ f(4) = 7 \]
Verilen fonksiyon: \( f(x) = 3x - 5 \)
İstenen değer: \( f(4) \)
Yani, \( x = 4 \) için \( f(x) \) değerini hesaplayacağız.
\[ f(4) = 3 \times (4) - 5 \]Buna göre, \( f(4) \) değeri 7'dir. ✅
- 📌 Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) şeklinde yazalım.
- 💡 Adım 2: \( x \) değerini \( y \) cinsinden yalnız bırakalım.
- ✅ Adım 3: \( x \) yerine \( f^{-1}(y) \) ve \( y \) yerine \( x \) yazarak ters fonksiyonu elde edelim.
\[ y = 4x + 7 \]
Önce \( 7 \)'yi karşıya atalım:
\[ y - 7 = 4x \]Şimdi her iki tarafı \( 4 \)'e bölelim:
\[ x = \frac{y - 7}{4} \]\[ f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{4} \]
Buna göre, \( f(x) = 4x + 7 \) fonksiyonunun tersi \( f^{-1}(x) = \frac{x - 7}{4} \)'tür. ✅
- 📌 Adım 1: \( f(x) \) ve \( g(x) \) fonksiyonlarını hatırlayalım.
- 💡 Adım 2: \( f(g(x)) \) ifadesini oluşturmak için \( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) gördüğümüz yere \( g(x) \) ifadesini yazalım.
- ✅ Adım 3: \( g(x) \)'in tanımını yerine koyarak bileşke fonksiyonu bulalım.
\[ f(x) = x - 2 \]
\[ g(x) = x^2 + 1 \]
Yani, \( f(\mathbf{g(x)}) = \mathbf{g(x)} - 2 \).
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = (x^2 + 1) - 2 \]
İfadeyi sadeleştirelim:
\[ (f \circ g)(x) = x^2 - 1 \]
Buna göre, bileşke fonksiyon \( (f \circ g)(x) = x^2 - 1 \)'dir. ✅
- 📌 Adım 1: Sabit ve değişken maliyetleri belirleyelim.
- 💡 Adım 2: Konuşulan dakika sayısı \( x \) cinsinden aylık fatura fonksiyonunu oluşturalım.
- 💡 Adım 3: 60 dakika konuşan bir abonenin faturasını hesaplayalım.
- ✅ Adım 4: Sonucu ifade edelim.
Sabit ücret: 30 TL
Dakika başına ücret: 0,50 TL
Toplam fatura, sabit ücret ile konuşulan dakika sayısının dakika başına ücretle çarpımının toplamı olacaktır.
\[ F(x) = \text{Sabit Ücret} + (\text{Dakika Başına Ücret} \times \text{Konuşulan Dakika Sayısı}) \]
\[ F(x) = 30 + 0,50 \times x \]
Yani, \( x = 60 \) için \( F(x) \) değerini bulacağız.
\[ F(60) = 30 + 0,50 \times 60 \]
\[ F(60) = 30 + 30 \]
\[ F(60) = 60 \]
Fonksiyon \( F(x) = 30 + 0,50x \)'tir. 60 dakika konuşan bir abonenin faturası 60 TL olacaktır. ✅
- 📌 Adım 1: Gelir ve giderleri belirleyelim.
- 💡 Adım 2: Günlük gelir fonksiyonunu \( G(x) \) olarak yazalım.
- 💡 Adım 3: Günlük kar fonksiyonunu \( K(x) \) olarak oluşturalım.
- 💡 Adım 4: Fırının günde 200 ekmek sattığında elde edeceği karı hesaplayalım.
- ✅ Adım 5: Sonucu ifade edelim.
Ekmek satış fiyatı: 3 TL/adet
Günlük sabit gider: 150 TL
\[ G(x) = \text{Ekmek Sayısı} \times \text{Satış Fiyatı} \]
\[ G(x) = x \times 3 = 3x \]
Kar, gelirden giderin çıkarılmasıyla bulunur.
\[ K(x) = G(x) - \text{Sabit Gider} \]
\[ K(x) = 3x - 150 \]
Yani, \( x = 200 \) için \( K(x) \) değerini bulacağız.
\[ K(200) = 3 \times (200) - 150 \]
\[ K(200) = 600 - 150 \]
\[ K(200) = 450 \]
Kar fonksiyonu \( K(x) = 3x - 150 \)'dir. Fırın günde 200 ekmek sattığında 450 TL kar elde eder. ✅
- 📌 Adım 1: Verilen bilgileri kullanarak iki denklem oluşturalım.
- 💡 Adım 2: Denklem sistemini çözerek \( a \) ve \( b \) değerlerini bulalım.
- ✅ Adım 3: Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerlerini doğrusal fonksiyon kuralına yerleştirelim.
\( f(1) = 5 \) ise: \( a(1) + b = 5 \implies a + b = 5 \) (Denklem 1)
\( f(3) = 11 \) ise: \( a(3) + b = 11 \implies 3a + b = 11 \) (Denklem 2)
Denklem 1'i eksi ile çarpıp Denklem 2 ile toplayalım:
\[ (3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \]
\[ 2a = 6 \]
\[ a = 3 \]
\( a = 3 \) değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
\[ 3 + b = 5 \]
\[ b = 2 \]
\[ f(x) = ax + b \]
\[ f(x) = 3x + 2 \]
Buna göre, \( f(x) \) fonksiyonunun kuralı \( f(x) = 3x + 2 \)'dir. ✅
- 📌 Adım 1: \( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonunu hesaplayalım.
- 💡 Adım 2: Verilen \( (f \circ g)(x) = g(x) + 5 \) denklemini oluşturalım.
- 💡 Adım 3: Denklemi sadeleştirip \( m \) değerini bulalım.
- ✅ Adım 4 (Düzeltilmiş Soru İçin): Sonucu ifade edelim.
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
\( f(x) \) fonksiyonunda \( x \) yerine \( g(x) = x - 3 \) yazalım:
\[ f(x - 3) = 2(x - 3) + m \]
\[ (f \circ g)(x) = 2x - 6 + m \]
Bulduğumuz \( (f \circ g)(x) \) ifadesini ve \( g(x) \) ifadesini denklemde yerine koyalım:
\[ 2x - 6 + m = (x - 3) + 5 \]
Denklemin sağ tarafını düzenleyelim:
\[ 2x - 6 + m = x + 2 \]
\( x \)'li terimleri ve sabit terimleri bir araya getirelim:
\[ m = x + 2 - (2x - 6) \]
\[ m = x + 2 - 2x + 6 \]
\[ m = -x + 8 \]
Bu denklemde \( m \) sabit bir sayı olmalıdır, \( x \)'e bağlı olamaz. Bu durum, sorunun kurgusunda bir hata olduğunu veya \( x \) teriminin birbirini götürmesi gerektiğini gösterir. Tekrar kontrol edelim.
Ah, evet! \( 2x - 6 + m = x + 2 \) denkleminde \( x \) terimlerini eşitliğin bir tarafına, sabit terimleri diğer tarafa toplayarak \( m \) değerini bulmalıyız. \( x \) terimleri eşitliğin her iki tarafında da olduğu için, \( m \) değeri \( x \)'e bağlı çıkmamalıdır.
Denklem: \( 2x - 6 + m = x + 2 \)
Her iki taraftan \( x \) çıkaralım:
\[ x - 6 + m = 2 \]
\( -6 \)'yı sağ tarafa atalım:
\[ x + m = 8 \]
Burada yine \( m \) değeri \( x \)'e bağlı çıkıyor. Bu, sorunun orijinalinde bir hata olduğunu veya sorunun "her x değeri için" geçerli olması bekleniyorsa, \( x \) terimlerinin katsayılarının eşit olması gerektiği anlamına gelir.
Tekrar baştan inceleyelim: \( (f \circ g)(x) = 2x - 6 + m \) ve \( g(x) + 5 = (x - 3) + 5 = x + 2 \).
Eşitlik: \( 2x - 6 + m = x + 2 \)
Bu eşitliğin her \( x \) değeri için sağlanması gerekiyorsa, \( x \)'in katsayıları ve sabit terimler ayrı ayrı eşit olmalıdır.
\( x \)'in katsayıları için: \( 2 = 1 \) (Bu yanlıştır.)
Bu durumda sorunun kurgusunda bir hata var gibi görünüyor, çünkü bir fonksiyonun bir başka fonksiyonla eşitliği ancak "her x değeri için" sağlanabilir ve bu durumda x'lerin katsayıları ve sabit terimler eşit olmalıdır. Ancak burada x'in katsayıları (2 ve 1) eşit değil. Bu tarz bir soru 10. sınıf seviyesinde beklenmez.
Düzeltme: Muhtemelen soru \( (f \circ g)(x) = g(\mathbf{m}) + 5 \) veya benzeri bir formda olmalıydı. Ancak verilen formda, \( x \) terimleri eşitlenemediği için \( m \) sabit bir değer olarak bulunamaz.
Varsayım: Eğer soru \( (f \circ g)(x) = f(x) + k \) gibi bir şey olsaydı çözülebilirdi. Mevcut haliyle, \( 2x - 6 + m = x + 2 \) eşitliğinin her \( x \) için sağlanması mümkün değildir çünkü \( x \)'in katsayıları farklıdır. Eğer soru sadece belirli bir \( x \) değeri için \( m \) değerini sorsaydı (örneğin \( x=1 \) için), o zaman bir çözüm olurdu.
Bu durumda, soruyu 10. sınıf müfredatına uygun ve çözülebilir hale getirmek için soruyu değiştirelim. Yeni Soru: \( (f \circ g)(x) = 2g(x) + 5 \) ise, \( m \) değerini bulunuz.
Yeniden Çözüm (Düzeltilmiş Soru İçin):
\[ (f \circ g)(x) = 2x - 6 + m \]
Verilen eşitlik: \( (f \circ g)(x) = 2g(x) + 5 \)
\( g(x) = x - 3 \) olduğu için:
\[ 2g(x) + 5 = 2(x - 3) + 5 \]
\[ 2(x - 3) + 5 = 2x - 6 + 5 \]
\[ 2(x - 3) + 5 = 2x - 1 \]
Şimdi \( (f \circ g)(x) \) ifadesini bu yeni ifadeye eşitleyelim:
\[ 2x - 6 + m = 2x - 1 \]
Her iki taraftan \( 2x \) terimini çıkaralım:
\[ -6 + m = -1 \]
\( -6 \)'yı sağ tarafa atalım:
\[ m = -1 + 6 \]
\[ m = 5 \]
Düzeltilmiş soruya göre, \( m \) değeri 5'tir. (Orijinal haliyle soru çözülemez.) ✅
(Not: Grafikte yatay eksen zamanı (x), dikey eksen yolu (y) göstermektedir. Grafik, başlangıç noktasından (0,0) başlayıp (2, 100) noktasına doğrusal olarak yükselmekte, ardından (2, 100) noktasından (4, 100) noktasına yatay (sabit) gitmekte ve son olarak (4, 100) noktasından (5, 200) noktasına doğrusal olarak yükselmektedir.)
a) Aracın ilk 2 saatte aldığı yolu gösteren fonksiyonu yazınız.
b) Aracın 2. ve 4. saatler arasında aldığı yol kaç kilometredir?
c) \( f(5) \) değeri nedir? 🚗
- 📌 Adım 1: Grafiğin parçalarını ve temsil ettiği durumları analiz edelim.
- 💡 Adım 2: a) Aracın ilk 2 saatte aldığı yolu gösteren fonksiyonu yazalım.
- 💡 Adım 3: b) Aracın 2. ve 4. saatler arasında aldığı yol kaç kilometredir?
- 💡 Adım 4: c) \( f(5) \) değeri nedir?
- ✅ Adım 5: Sonuçları özetleyelim.
0-2 saat arası: Araç (0,0) noktasından (2,100) noktasına gitmiş. Bu bir doğrusal artış.
2-4 saat arası: Araç (2,100) noktasından (4,100) noktasına gitmiş. Yol sabit kalmış, yani araç durmuş.
4-5 saat arası: Araç (4,100) noktasından (5,200) noktasına gitmiş. Bu da bir doğrusal artış.
(0,0) ve (2,100) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmalıyız. Eğim \( a = \frac{100 - 0}{2 - 0} = \frac{100}{2} = 50 \). Doğru orijinden geçtiği için \( b = 0 \).
İlk 2 saat için fonksiyon: \( f(x) = 50x \), \( 0 \le x \le 2 \)
Grafiğe göre, 2. saatte araç 100 km yol almış. 4. saatte de 100 km yol almış. Yol değeri değişmediği için araç bu aralıkta hareket etmemiştir.
Alınan yol = \( f(4) - f(2) = 100 - 100 = 0 \) km.
Grafiğe göre, \( x=5 \) olduğunda \( y \) değeri 200'dür. Bu, aracın 5 saat sonunda toplam 200 km yol aldığını gösterir.
\[ f(5) = 200 \]
a) İlk 2 saat için fonksiyon: \( f(x) = 50x \), \( 0 \le x \le 2 \)
b) 2. ve 4. saatler arasında alınan yol: 0 km
c) \( f(5) \) değeri: 200 ✅
- 📌 Adım 1: \( (f \circ g)(x) \) tanımını yazalım.
- 💡 Adım 2: \( f(g(x)) \) ifadesindeki \( g(x) \) yerine \( u \) gibi yeni bir değişken atayalım.
- 💡 Adım 3: \( x \) değerini \( u \) cinsinden ifade edelim.
- 💡 Adım 4: \( f(g(x)) = 6x - 1 \) ifadesinde \( x \) yerine \( u \) cinsinden bulduğumuz ifadeyi, \( g(x) \) yerine de \( u \) yazalım.
- ✅ Adım 5: \( f(u) \) ifadesini sadeleştirerek \( f(x) \) fonksiyonunu bulalım.
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]
Bize \( f(g(x)) = 6x - 1 \) ve \( g(x) = 2x + 3 \) verilmiş.
Yani, \( u = g(x) = 2x + 3 \). Amacımız \( f(u) \) fonksiyonunu bulmak.
\[ u = 2x + 3 \]
\[ u - 3 = 2x \]
\[ x = \frac{u - 3}{2} \]
\[ f(u) = 6 \times \left(\frac{u - 3}{2}\right) - 1 \]
\[ f(u) = 3(u - 3) - 1 \]
\[ f(u) = 3u - 9 - 1 \]
\[ f(u) = 3u - 10 \]
Son olarak, \( u \) yerine tekrar \( x \) yazarak \( f(x) \) fonksiyonunu elde ederiz:
\[ f(x) = 3x - 10 \]
Buna göre, \( f(x) \) fonksiyonu \( f(x) = 3x - 10 \)'dur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlar-ile-ilgili-problemler/sorular