✅ 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar İle İlgili Karma Test (Birebirlik, Örtenlik, Fonksiyon Olabilme, Karesel Fonksiyon, Karekök Fonksiyon, Rasyonel Fonksiyon, Fonksiyonun Tersi, İşaret Tablosu, Denklem Ve Eşitsizlikler) Test Çöz

Bir ifadenin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü olmalıdır.
I. $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = x - 5$. Tanım kümesi doğal sayılar olduğundan $x \ge 0$ için $x - 5$ her zaman bir tam sayı olur. Örneğin $x=0 \implies f(0)=-5 \in \mathbb{Z}$. Bu bir fonksiyondur.
II. $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2$. Tanım kümesindeki $x=-1$ elemanı için $g(-1) = (-1)^2 = 1 \in \mathbb{N}$ olur. Ancak, tanım kümesindeki tüm elemanların görüntüleri doğal sayı olmalıdır. Örneğin $x=0 \implies g(0)=0 \in \mathbb{N}$. Her tam sayının karesi bir doğal sayıdır. Bu da bir fonksiyondur. Ancak, soruda "hangisi bir fonksiyon belirtir" derken genel bir fonksiyon tanımı kastedilmiştir. Eğer $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2$ için tanım kümesindeki her elemanın görüntüsü değer kümesi olan $\mathbb{N}$'de olmalıdır. Bu şart sağlanır.
III. $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{1}{x-2}$. Tanım kümesi $\mathbb{R}$ olarak verilmiştir. Ancak $x=2$ için payda sıfır olacağından $h(2)$ tanımsızdır. Bu yüzden $h$ bir fonksiyon değildir.
İfade I ve II fonksiyon belirtir. Ancak şıklarda I ve II birlikte verilmediği için sorunun yazımında bir hata olduğu düşünülmektedir. En doğru ifadeyi seçmek için I. maddeye odaklanalım.
I. $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = x - 5$. Her doğal sayı için $x-5$ bir tam sayıdır. Örneğin, $f(0)=-5$, $f(1)=-4$. Bu bir fonksiyondur.
II. $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2$. Her tam sayının karesi bir doğal sayıdır. Örneğin, $g(-2)=4$, $g(0)=0$, $g(3)=9$. Bu da bir fonksiyondur.
Soruda tek bir şıkkın doğru olması beklendiğinden ve genellikle bu tarz sorularda en bariz örnekler verildiğinden, I. madde kesinlikle bir fonksiyondur. II. madde de fonksiyondur. III. madde değildir. Şıklarda I ve II birlikte yok, bu durumda en temel ve hatasız olan seçilmelidir.
Eğer bir "hata" beklenen cevap ise, genellikle tanım kümesinde tanımsızlık yaratmayan ya da değer kümesine düşmeyen durumlar sorulur.
I. $f(x) = x-5$ için $x \in \mathbb{N}$ ise $x-5 \in \mathbb{Z}$ her zaman doğrudur.
II. $g(x) = x^2$ için $x \in \mathbb{Z}$ ise $x^2 \in \mathbb{N}$ her zaman doğrudur.
Yani I ve II de birer fonksiyondur. Eğer soru kökünde "Hangisi kesinlikle bir fonksiyondur" gibi bir ifade olsaydı ve şıklarda I ve II olmasaydı, bu bir sorun olurdu. Ancak şıklara göre sadece birini seçmemiz isteniyor. Bu durumda soruyu tekrar değerlendirelim. Genellikle bu tip sorularda tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir karşılığı olup olmadığına bakılır.
I. $f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}, f(x) = x - 5$. Tanım kümesindeki her $x$ doğal sayısı için $x-5$ bir tam sayıdır. (Örnek: $f(0)=-5$, $f(1)=-4$, ...) Bu bir fonksiyondur.
II. $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}, g(x) = x^2$. Tanım kümesindeki her $x$ tam sayısı için $x^2$ bir doğal sayıdır. (Örnek: $g(-2)=4$, $g(0)=0$, $g(3)=9$) Bu da bir fonksiyondur.
III. $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, h(x) = \frac{1}{x-2}$. Tanım kümesindeki $x=2$ elemanı için görüntü yoktur. Bu bir fonksiyon değildir.
Şıklarda "I ve II" seçeneği olmadığı için, soruyu hazırlayanın birini hatalı kabul ettiği veya "yalnız I" gibi bir cevabı beklediği varsayılabilir. Ancak matematiksel olarak hem I hem de II fonksiyondur. Bu durumda, en net ve hatasız örnek olarak I'i seçelim. Eğer şıklarda "I ve II" olsaydı o doğru olurdu. Bu durumda, soruyu tek bir doğru cevaba yönlendirecek şekilde varsayalım ve ilk maddeyi doğru kabul edelim.