🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar İle İlgili Karma Test (Birebirlik, Örtenlik, Fonksiyon Olabilme, Karesel Fonksiyon, Karekök Fonksiyon, Rasyonel Fonksiyon, Fonksiyonun Tersi, İşaret Tablosu, Denklem Ve Eşitsizlikler) Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Fonksiyonlar İle İlgili Karma Test (Birebirlik, Örtenlik, Fonksiyon Olabilme, Karesel Fonksiyon, Karekök Fonksiyon, Rasyonel Fonksiyon, Fonksiyonun Tersi, İşaret Tablosu, Denklem Ve Eşitsizlikler) Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Fonksiyon Olabilme ve Tanım Kümesi 💡
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir? Fonksiyon belirten bağıntının en geniş tanım kümesini bulunuz.
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyon belirtir? Fonksiyon belirten bağıntının en geniş tanım kümesini bulunuz.
- \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \ f(x) = \frac{x+5}{x-2}\)
- \(g: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \ g(x) = \sqrt{x-3}\)
- \(h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}, \ h(x) = \frac{x}{2}\)
Çözüm:
Bu soruda, verilen bağıntıların fonksiyon olma şartlarını ve en geniş tanım kümelerini inceleyeceğiz. 📌
-
1. Seçenek: \(f(x) = \frac{x+5}{x-2}\)
- Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnız bir görüntüsü olmalıdır. Ayrıca, rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olmaması gerekir.
- Burada payda \(x-2\) olduğu için \(x-2 \neq 0 \implies x \neq 2\) olmalıdır.
- Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) olarak verilmiş. Ancak \(x=2\) için fonksiyon tanımsızdır. Bu durumda \(f\) bağıntısı \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) şeklinde bir fonksiyon değildir. Tanım kümesi \(\mathbb{R} - \{2\}\) olsaydı fonksiyon olurdu.
- En geniş tanım kümesi: \(D_f = \mathbb{R} - \{2\}\) ✅
-
2. Seçenek: \(g(x) = \sqrt{x-3}\)
- Karekök içerisindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani \(x-3 \ge 0 \implies x \ge 3\) olmalıdır.
- Tanım kümesi \(\mathbb{N}\) (doğal sayılar) olarak verilmiş. Doğal sayılar kümesindeki \(0, 1, 2\) gibi elemanlar için \(x \ge 3\) şartı sağlanmaz (örneğin \(g(0) = \sqrt{-3}\) tanımsızdır). Bu nedenle \(g\) bağıntısı \(\mathbb{N} \to \mathbb{R}\) şeklinde bir fonksiyon değildir.
- En geniş tanım kümesi: \(D_g = [3, \infty)\) ✅
-
3. Seçenek: \(h(x) = \frac{x}{2}\)
- Tanım kümesi \(\mathbb{Z}\) (tam sayılar), değer kümesi \(\mathbb{Z}\) (tam sayılar) olarak verilmiş.
- Tanım kümesindeki her tam sayı için bir görüntü vardır. Ancak bu görüntünün değer kümesi olan \(\mathbb{Z}\) içinde olması gerekir.
- Örneğin, \(h(1) = \frac{1}{2}\) bir tam sayı değildir. \(h(3) = \frac{3}{2}\) de bir tam sayı değildir.
- Bu durumda \(h\) bağıntısı \(\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\) şeklinde bir fonksiyon değildir.
- Eğer değer kümesi \(\mathbb{Q}\) (rasyonel sayılar) veya \(\mathbb{R}\) olsaydı fonksiyon olurdu.
- En geniş tanım kümesi (bu bağıntının bir fonksiyon olabilmesi için): \(D_h = \mathbb{R}\) (ancak belirtilen değer kümesi için fonksiyon değildir) ✅
Örnek 2:
Birebirlik ve Örtenlik 🧐
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 4\) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Birebir ve örten değildir.
b) Birebirdir ancak örten değildir.
c) Örtendir ancak birebir değildir.
d) Hem birebir hem de örtendir.
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 3x - 4\) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Birebir ve örten değildir.
b) Birebirdir ancak örten değildir.
c) Örtendir ancak birebir değildir.
d) Hem birebir hem de örtendir.
Çözüm:
Fonksiyonun birebir ve örten olup olmadığını inceleyelim. 👇
Doğru cevap d) seçeneğidir. 🎉
-
Birebirlik İncelemesi:
- Bir fonksiyonun birebir olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntülerinin de farklı olması gerekir. Yani, \(f(x_1) = f(x_2)\) ise \(x_1 = x_2\) olmalıdır.
- Verilen fonksiyon için: \(3x_1 - 4 = 3x_2 - 4\)
- Her iki taraftan \(-4\) çıkarırsak: \(3x_1 = 3x_2\)
- Her iki tarafı \(3\)e bölersek: \(x_1 = x_2\)
- Bu durumda, \(f(x) = 3x - 4\) fonksiyonu birebirdir. ✅
-
Örtenlik İncelemesi:
- Bir fonksiyonun örten olması için, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesinde en az bir karşılığı (ön görüntüsü) olması gerekir. Yani, değer kümesindeki her \(y\) elemanı için \(f(x) = y\) olacak şekilde en az bir \(x\) elemanı bulunmalıdır.
- Verilen fonksiyon için: \(y = 3x - 4\)
- \(x\)i yalnız bırakalım: \(y + 4 = 3x \implies x = \frac{y+4}{3}\)
- Tanım kümesi \(\mathbb{R}\) ve değer kümesi \(\mathbb{R}\) olduğundan, her reel sayı \(y\) için, \(\frac{y+4}{3}\) de bir reel sayı olacaktır. Yani, değer kümesindeki her elemanın bir ön görüntüsü vardır.
- Bu durumda, \(f(x) = 3x - 4\) fonksiyonu örtendir. ✅
Doğru cevap d) seçeneğidir. 🎉
Örnek 3:
Fonksiyonun Tersi 🔄
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5x + 8\) fonksiyonunun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz.
\(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5x + 8\) fonksiyonunun tersi olan \(f^{-1}(x)\) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun tersini bulmak için izlememiz gereken adımlar şunlardır: 🚀
-
1. Adım: \(f(x)\) yerine \(y\) yazın.
\(y = 5x + 8\) -
2. Adım: \(x\)i \(y\) cinsinden ifade edin (yani \(x\)i yalnız bırakın).
\(y - 8 = 5x\)
\(x = \frac{y-8}{5}\) -
3. Adım: \(x\) yerine \(f^{-1}(y)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazın. (Bu adımda genellikle \(x\) ve \(y\) yer değiştirilir.)
\(f^{-1}(x) = \frac{x-8}{5}\) ✅
Örnek 4:
Karesel Fonksiyon - Tepe Noktası ⛰️
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
\(f(x) = x^2 - 6x + 5\) karesel fonksiyonunun tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Bir karesel fonksiyonun (parabolün) tepe noktasının koordinatlarını bulmak için belirli bir formül kullanırız. 🎯
Genel karesel fonksiyon \(ax^2 + bx + c\) şeklindedir.
Tepe noktasının koordinatları \(T(r, k)\) ile gösterilir ve şu formüllerle bulunur:
- r (apsis) değeri: \(r = -\frac{b}{2a}\)
- k (ordinat) değeri: \(k = f(r)\) (yani \(r\) değerini fonksiyonda yerine koyarak bulunur)
- \(a = 1\) (çünkü \(x^2\)nin katsayısı)
- \(b = -6\) (çünkü \(x\)in katsayısı)
- \(c = 5\) (sabit terim)
-
1. Adım: r değerini bulalım.
\(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2 \times 1} = -\frac{-6}{2} = 3\) ✅ -
2. Adım: k değerini bulalım.
\(k = f(r) = f(3)\)
\(k = (3)^2 - 6(3) + 5\)
\(k = 9 - 18 + 5\)
\(k = -9 + 5\)
\(k = -4\) ✅
Örnek 5:
Rasyonel Fonksiyon - Tanım Kümesi 🌐
\(f(x) = \frac{x+2}{x^2 - 4x - 12}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
\(f(x) = \frac{x+2}{x^2 - 4x - 12}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesini bulurken paydanın sıfır olmamasına dikkat etmeliyiz. 🤔
-
1. Adım: Paydayı sıfıra eşitleyin.
Payda ifadesi \(x^2 - 4x - 12\)'dir. Bu ifadeyi sıfıra eşitleyerek \(x\) değerlerini bulalım:
\(x^2 - 4x - 12 = 0\) -
2. Adım: Denklemi çözün.
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları \(-12\) ve toplamları \(-4\) olan iki sayı \(-6\) ve \(2\)'dir.
\((x-6)(x+2) = 0\)
Buradan \(x-6=0 \implies x=6\) veya \(x+2=0 \implies x=-2\) değerlerini buluruz. -
3. Adım: Tanım kümesini belirleyin.
Bu \(x\) değerleri paydayı sıfır yaptığı için fonksiyon bu noktalarda tanımsızdır.
Dolayısıyla, fonksiyonun tanım kümesi reel sayılar kümesinden bu değerlerin çıkarılmasıyla elde edilir.
En geniş tanım kümesi: \(D_f = \mathbb{R} - \{-2, 6\}\) ✅
Örnek 6:
Karekök Fonksiyon - Tanım Kümesi 🌳
\(f(x) = \sqrt{x^2 - 7x + 10}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
\(f(x) = \sqrt{x^2 - 7x + 10}\) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Karekök fonksiyonlarında tanım kümesi, kök içerisindeki ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirir. 🌿
-
1. Adım: Kök içindeki ifadeyi \(\ge 0\) olarak yazın.
\(x^2 - 7x + 10 \ge 0\) -
2. Adım: Eşitsizliğin köklerini bulun.
Önce \(x^2 - 7x + 10 = 0\) denklemini çözmeliyiz. Çarpımları \(10\) ve toplamları \(-7\) olan iki sayı \(-5\) ve \(-2\)'dir.
\((x-5)(x-2) = 0\)
Buradan \(x=5\) ve \(x=2\) köklerini buluruz. -
3. Adım: İşaret tablosu oluşturun.
Kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir işaret tablosu oluşturalım. \(x^2\)nin katsayısı pozitif (\(1\)) olduğu için en sağdan artı (+) ile başlarız.
\(x\) \(-\infty\) \(2\) \(5\) \(+\infty\)
\(x^2 - 7x + 10\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) -
4. Adım: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyin.
Biz \(x^2 - 7x + 10 \ge 0\) olmasını istiyoruz. İşaret tablosuna göre, bu ifade \(x \le 2\) veya \(x \ge 5\) olduğunda pozitif veya sıfırdır.
En geniş tanım kümesi: \(D_f = (-\infty, 2] \cup [5, \infty)\) ✅
Örnek 7:
İşaret Tablosu ile Eşitsizlik Çözümü 🚦
\(x^2 - 2x - 15 < 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
\(x^2 - 2x - 15 < 0\) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
İkinci dereceden eşitsizlikleri çözmek için işaret tablosu yöntemini kullanırız. 📊
-
1. Adım: Eşitsizliği sıfıra eşitleyerek kökleri bulun.
\(x^2 - 2x - 15 = 0\) denklemini çözelim. Çarpımları \(-15\) ve toplamları \(-2\) olan iki sayı \(-5\) ve \(3\)'tür.
\((x-5)(x+3) = 0\)
Buradan \(x=5\) ve \(x=-3\) köklerini buluruz. -
2. Adım: İşaret tablosu oluşturun.
Kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir işaret tablosu hazırlayalım. \(x^2\) teriminin katsayısı pozitif (\(1\)) olduğu için en sağdaki aralıkta artı (+) ile başlarız.
\(x\) \(-\infty\) \(-3\) \(5\) \(+\infty\)
\(x^2 - 2x - 15\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\) -
3. Adım: Eşitsizliği sağlayan aralığı belirleyin.
Biz \(x^2 - 2x - 15 < 0\) olmasını istiyoruz, yani ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz. İşaret tablosuna göre bu aralık \(-3\) ile \(5\) arasındadır. Eşitsizlik kesin küçüktür (\(<\)) olduğu için kökler çözüm kümesine dahil değildir.
Çözüm kümesi: \((-3, 5)\) ✅
Örnek 8:
Günlük Hayattan Fonksiyon Uygulaması - Maksimum Kar 💰
Bir telefon kılıfı üreticisi, \(x\) adet kılıf ürettiğinde elde ettiği günlük karı \(K(x) = -x^2 + 80x - 1200\) (TL) fonksiyonu ile modellemektedir. Buna göre, bu üreticinin elde edebileceği maksimum kar kaç TL'dir?
Bir telefon kılıfı üreticisi, \(x\) adet kılıf ürettiğinde elde ettiği günlük karı \(K(x) = -x^2 + 80x - 1200\) (TL) fonksiyonu ile modellemektedir. Buna göre, bu üreticinin elde edebileceği maksimum kar kaç TL'dir?
Çözüm:
Bu problem, bir karesel fonksiyonun (parabolün) maksimum değerini bulma problemidir. Kar fonksiyonu \(K(x) = -x^2 + 80x - 1200\) şeklinde olup, \(x^2\) teriminin katsayısı negatif (\(-1\)) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur ve bu nedenle bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer tepe noktasının ordinatıdır. 📈
Fonksiyonumuz \(ax^2 + bx + c\) formunda olduğundan, \(a=-1\), \(b=80\) ve \(c=-1200\)'dir.
-
1. Adım: Maksimum karı veren üretim miktarını (\(r\)) bulun.
Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur.
\(r = -\frac{80}{2 \times (-1)} = -\frac{80}{-2} = 40\)
Yani, üretici \(40\) adet kılıf ürettiğinde maksimum karı elde eder. -
2. Adım: Maksimum kar miktarını (\(k\)) bulun.
Maksimum kar, \(r\) değerini kar fonksiyonunda yerine koyarak bulunur, yani \(K(r)\).
\(K(40) = -(40)^2 + 80(40) - 1200\)
\(K(40) = -1600 + 3200 - 1200\)
\(K(40) = 1600 - 1200\)
\(K(40) = 400\) ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-fonksiyonlar-ile-ilgili-karma-test-birebirlik-ortenlik-fonksiyon-olabilme-karesel-fonksiyon-karekok-fonksiyon-rasyonel-fonksiyon-fonksiyonun-tersi-isaret-tablosu-denklem-ve-esitsizlikler/sorular