💡 10. Sınıf Matematik: Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun denklemi Çözümlü Örnekler

Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun genel denklem formülü şöyledir:

Burada \( a \) değeri x-eksenini kesen nokta, \( b \) değeri ise y-eksenini kesen noktadır. 💡

• Verilenlere göre \( a = 3 \) ve \( b = 4 \) değerlerini formülde yerine yazalım:
• \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \]
• Paydaları eşitlemek için birinci terimi \( 4 \) ile, ikinci terimi \( 3 \) ile genişletelim:
• \[ \frac{4x}{12} + \frac{3y}{12} = 1 \]
• \[ \frac{4x + 3y}{12} = 1 \]
• İçler dışlar çarpımı yaparsak:
• \( 4x + 3y = 12 \) veya genel formda \( 4x + 3y - 12 = 0 \) elde edilir. ✅

Doğru denklemini kurmak için yine standart formülümüzü kullanıyoruz:

• \( a = -2 \) (x-eksenini kestiği yer)
• \( b = 5 \) (y-eksenini kestiği yer)
• Formül: \[ \frac{x}{-2} + \frac{y}{5} = 1 \]
• Paydaları \( 10 \) sayısında eşitleyelim (eksi işaretine dikkat ederek):
• \[ \frac{-5x}{10} + \frac{2y}{10} = 1 \]
• \[ -5x + 2y = 10 \]
• Denklemi düzenlersek: \( 5x - 2y + 10 = 0 \) sonucuna ulaşırız. 📌

Öncelikle doğrunun denklemini bulalım, ardından noktayı yerine koyalım:

• Denklem: \[ \frac{x}{6} + \frac{y}{-3} = 1 \]
• Payda eşitleyelim: \[ \frac{x}{6} - \frac{2y}{6} = 1 \Rightarrow x - 2y = 6 \]
• Noktanın apsisi \( x = 4 \) olarak verilmiş. Bu değeri denklemde yerine yazalım:
• \[ 4 - 2y = 6 \]
• \[ -2y = 6 - 4 \]
• \[ -2y = 2 \]
• \[ y = -1 \]
• Aranan noktanın ordinatı \( -1 \) olarak bulunur. 🎯

Bu doğru eksenleri dik bir şekilde kestiği için eksenlerle arasında bir dik üçgen oluşturur. 📐

• Doğrunun x-eksenini kestiği nokta: \( a = 8 \)
• Doğrunun y-eksenini kestiği nokta: \( b = 6 \)
• Oluşan dik üçgenin dik kenar uzunlukları \( 8 \) birim ve \( 6 \) birimdir.
• Üçgenin Alan Formülü: \( \text{Alan} = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} \)
• \[ \text{Alan} = \frac{8 \times 6}{2} \]
• \[ \text{Alan} = \frac{48}{2} = 24 \]
• Bölgenin alanı \( 24 \) birimkare olarak bulunur. ✅

Eksenleri kestiği noktaların orijine uzaklıkları eşitse ve pozitif bölgedeyse \( a = b \) olur. 💡

• Denklemimiz: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \]
• Bu doğru \( (2, 6) \) noktasından geçtiğine göre bu değerler denklemi sağlamalıdır:
• \[ \frac{2}{a} + \frac{6}{a} = 1 \]
• \[ \frac{8}{a} = 1 \Rightarrow a = 8 \]
• Bu durumda \( a = 8 \) ve \( b = 8 \) olur.
• Denklem: \[ \frac{x}{8} + \frac{y}{8} = 1 \]
• Sonuç: \( x + y = 8 \) veya \( x + y - 8 = 0 \) elde edilir. 🚀

Bu durumu analitik düzleme aktaralım:

• Başlangıçta (zaman \( x = 0 \)) boy \( y = 20 \)'dir. Bu durum \( (0, 20) \) noktasına karşılık gelir (y-eksenini kestiği nokta).
• \( 5 \) saat sonra (zaman \( x = 5 \)) boy \( y = 0 \)'dır. Bu durum \( (5, 0) \) noktasına karşılık gelir (x-eksenini kestiği nokta).
• \( a = 5 \) ve \( b = 20 \) değerlerini kullanarak denklemi kuralım:
• \[ \frac{x}{5} + \frac{y}{20} = 1 \]
• Paydaları \( 20 \) ile eşitleyelim:
• \[ \frac{4x}{20} + \frac{y}{20} = 1 \]
• \( 4x + y = 20 \) denklemi elde edilir. 🕯️

Adım adım modellemeyi yapalım:

• Eksenleri kestiği noktalar: \( a = -12 \) ve \( b = 4 \).
• Doğru denklemi: \[ \frac{x}{-12} + \frac{y}{4} = 1 \]
• Payda eşitleyelim (\( 12 \) ile):
• \[ \frac{-x}{12} + \frac{3y}{12} = 1 \Rightarrow -x + 3y = 12 \]
• Destek noktasının ordinatı \( y = 2 \) olarak verilmiş. Denklemde yerine yazalım:
• \[ -x + 3(2) = 12 \]
• \[ -x + 6 = 12 \]
• \[ -x = 6 \Rightarrow x = -6 \]
• Apsisin mutlak değeri (yatay uzaklık): \( |-6| = 6 \) birimdir. 🏗️

Önce \( a \) ve \( b \) değerlerini bulmamız gerekiyor:

• \( a = \frac{b}{2} \) ise \( b = 2a \) yazabiliriz.
• Denklemde \( b \) yerine \( 2a \) yazalım: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{2a} = 1 \]
• \( P(1, 4) \) noktası bu denklemi sağlamalıdır:
• \[ \frac{1}{a} + \frac{4}{2a} = 1 \]
• \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{a} = 1 \]
• \[ \frac{3}{a} = 1 \Rightarrow a = 3 \]
• \( a = 3 \) ise \( b = 2 \times 3 = 6 \) olur.
• Eksenleri kestiği noktalar \( 3 \) ve \( 6 \)'dır.
• Alan = \( \frac{a \times b}{2} = \frac{3 \times 6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)
• Alan \( 9 \) birimkare olarak hesaplanır. 📐✨