📝 10. Sınıf Matematik: Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun denklemi Ders Notu
Eksenleri kestiği noktaları bilinen doğrunun denklemini bulmak, analitik geometrinin temel konularından biridir. Bu tür doğruların denklemini oluştururken, doğrunun x eksenini ve y eksenini kestiği noktalar bize önemli bilgiler sunar. Bu bilgileri kullanarak doğrunun genel denklemini veya eğim-kesen denklemini kolayca elde edebiliriz.
Eksenleri Kestiği Noktaları Bilinen Doğrunun Denklemi
Bir doğrunun denklemini yazabilmek için genellikle iki bilgiye ihtiyaç duyarız: doğrunun eğimi ve üzerindeki bir nokta. Ancak, doğrunun eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa, bu bilgileri kullanarak da denklemi yazabiliriz. Eğer bir doğru x eksenini \( a \) noktasında ve y eksenini \( b \) noktasında kesiyorsa, bu noktalar sırasıyla \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) koordinatlarına sahiptir.
Formül: Eksenleri Kestiği Noktalar Verildiğinde Doğrunun Denklemi
Eğer bir doğru, x eksenini \( (a, 0) \) ve y eksenini \( (0, b) \) noktalarında kesiyorsa, bu doğrunun denklemi aşağıdaki formülle verilir:
\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]Bu formül, doğrunun eksen kesişim noktaları kullanılarak elde edilen özel bir denklemdir. Burada \( a \) ve \( b \) sıfırdan farklı olmalıdır. Eğer \( a=0 \) ise doğru y ekseni üzerindedir ve denklemi \( x=0 \) olur. Eğer \( b=0 \) ise doğru x ekseni üzerindedir ve denklemi \( y=0 \) olur. Ancak bu özel durumlar için yukarıdaki formül doğrudan uygulanamaz.
Bu denklemi genel doğru denklemine \( Ax + By + C = 0 \) veya eğim-kesen denklemine \( y = mx + n \) dönüştürmek de mümkündür.
Örnek 1:
x eksenini 3'te ve y eksenini 4'te kesen doğrunun denklemini bulunuz.
- Burada \( a = 3 \) ve \( b = 4 \) olarak verilmiştir.
- Formülü kullanarak denklemi yazalım:
Bu denklemi daha standart bir hale getirebiliriz. Paydaları eşitlemek için her terimi 12 ile çarparız:
\[ 12 \left( \frac{x}{3} \right) + 12 \left( \frac{y}{4} \right) = 12(1) \] \[ 4x + 3y = 12 \]Bu denklem, doğrunun genel denklemidir. Eğim-kesen formuna çevirmek istersek:
\[ 3y = -4x + 12 \] \[ y = -\frac{4}{3}x + 4 \]Burada doğrunun eğimi \( m = -\frac{4}{3} \) ve y eksenini kestiği nokta \( n = 4 \) olarak bulunur. Bu sonuç, soruda verilen y eksenini kestiği nokta ile uyumludur.
Örnek 2:
x eksenini -2'de ve y eksenini 5'te kesen doğrunun denklemini bulunuz.
- Burada \( a = -2 \) ve \( b = 5 \) olarak verilmiştir.
- Formülü uygulayalım:
Paydaları eşitlemek için her terimi -10 ile çarparız (veya her terimi 10 ile çarpıp işareti düzenleriz):
\[ -10 \left( \frac{x}{-2} \right) + (-10) \left( \frac{y}{5} \right) = -10(1) \] \[ 5x - 2y = -10 \]Bu denklem, doğrunun genel denklemidir. Eğim-kesen formuna çevirmek için y'yi yalnız bırakalım:
\[ -2y = -5x - 10 \] \[ y = \frac{-5}{-2}x + \frac{-10}{-2} \] \[ y = \frac{5}{2}x + 5 \]Bu durumda doğrunun eğimi \( m = \frac{5}{2} \) ve y eksenini kestiği nokta \( n = 5 \) olur.
Eğim ve Bir Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi ile İlişkisi
Eksenleri kestiği noktaları bilinen bir doğru için, bu noktaları kullanarak doğrunun eğimini hesaplayabiliriz. Eğer doğru \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) noktalarından geçiyorsa, eğim \( m \) şu şekilde bulunur:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{b - 0}{0 - a} = \frac{b}{-a} = -\frac{b}{a} \]Eğimi \( m = -\frac{b}{a} \) ve y eksenini kestiği nokta \( (0, b) \) olduğundan, eğim-kesen denklemi \( y = mx + n \) kullanılırsa:
\[ y = \left(-\frac{b}{a}\right)x + b \]Bu denklemi düzenleyerek \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) formülüne ulaşabiliriz:
\[ y - b = -\frac{b}{a}x \] \[ \frac{y - b}{1} = -\frac{b}{a}x \] \[ a(y - b) = -bx \] \[ ay - ab = -bx \] \[ bx + ay = ab \]Her iki tarafı \( ab \) ile bölersek ( \( a \neq 0 \) ve \( b \neq 0 \) varsayımıyla):
\[ \frac{bx}{ab} + \frac{ay}{ab} = \frac{ab}{ab} \] \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]Görüldüğü gibi, iki yöntem de aynı sonuca ulaşmaktadır.
Dik Koordinat Sisteminde Yorumlama
Bir doğrunun denklemi \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) şeklinde verildiğinde, bu doğruyun grafiğini çizerken:
- \( x \) eksenini kestiği nokta \( (a, 0) \) olur.
- \( y \) eksenini kestiği nokta \( (0, b) \) olur.
Bu iki noktayı dik koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde, doğrunun grafiğini elde etmiş oluruz. Bu, özellikle grafik çizimi gerektiren problemlerde çok kullanışlıdır.