Soru 1: \( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulunuz. 💡 İpucu: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak olan en küçük üslü çarpanları seçin.
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, verilen \( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanacağız.
Adım 1: Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım.
Soru 3: \( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) ve \( B = 2^2 \times 3^4 \times 7^1 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının EBOB'unu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilen sayıların EBOB'unu bulmak daha kolaydır.
Adım 1: Her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları belirleyelim.
\( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
\( B = 2^2 \times 3^4 \times 7^1 \)
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür. \( 5 \) sadece \( A \)'da, \( 7 \) sadece \( B \)'de vardır.
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alalım.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^2 \) ve \( 3^4 \) arasından \( 3^2 \) seçilir.
✅ Cevap: \( A \) ve \( B \) sayılarının EBOB'u \( 36 \)'dır.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Soru 4: Bir marangoz, elindeki \( 108 \) cm ve \( 144 \) cm uzunluğundaki iki tahta parçasını eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde en büyük parçalara ayırmak istiyor. Buna göre, her bir parçanın uzunluğu kaç cm olmalıdır? 🪵
Çözüm ve Açıklama
Bu tür bir problemde, eşit uzunlukta en büyük parçaları bulmak için EBOB kullanırız.
Adım 1: Verilen tahta uzunluklarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 108 = 2^2 \times 3^3 \)
\( 144 = 2^4 \times 3^2 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^2 \) ( \( 108 \)'den) ve \( 2^4 \) ( \( 144 \)'ten) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^3 \) ( \( 108 \)'den) ve \( 3^2 \) ( \( 144 \)'ten) arasından \( 3^2 \) seçilir.
\( 144 \) cm'lik tahtadan \( 144 \div 36 = 4 \) parça elde edilir.
✅ Cevap: Her bir parçanın uzunluğu \( 36 \) cm olmalıdır.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Soru 5: Boyutları \( 120 \) metre ve \( 180 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir arsa, hiç boşluk kalmayacak ve parçalanmayacak şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç metre olabilir? 🏞️
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgen bir alanı eş kare parsellere ayırmak için, karenin kenar uzunluğunun hem uzun kenarı hem de kısa kenarı tam bölen en büyük sayı olması gerekir. Bu da EBOB anlamına gelir.
Adım 1: Arsanın kenar uzunlukları olan \( 120 \) ve \( 180 \) sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
\( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \)'tir.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^1 \) ve \( 3^2 \) arasından \( 3^1 \) seçilir.
\( 5 \) için en küçük üs: \( 5^1 \) ve \( 5^1 \) arasından \( 5^1 \) seçilir.
Kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla \( 60 \) metre olabilir.
Bu durumda;
Kısa kenar boyunca \( 120 \div 60 = 2 \) parsel,
Uzun kenar boyunca \( 180 \div 60 = 3 \) parsel yerleştirilebilir.
Toplamda \( 2 \times 3 = 6 \) adet eş kare parsel elde edilir.
✅ Cevap: Bir kenar uzunluğu en fazla \( 60 \) metre olabilir.
6
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Soru 6: \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayılarının EBOB'u \( 1 \) ise, bu sayılar için ne söylenebilir?
Çözüm ve Açıklama
İki sayının EBOB'unun \( 1 \) olması, o sayıların aralarında asal olduğunu gösterir. Aralarında asal sayılar, \( 1 \)'den başka ortak pozitif tam böleni olmayan sayılardır.
Adım 1: EBOB tanımını hatırlayalım.
EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
Adım 2: Verilen durumu değerlendirelim.
EBOB\( ((2a+1), (3b-2)) = 1 \) olduğu belirtilmiştir. Bu durum, \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayılarının \( 1 \)'den başka ortak böleninin olmadığını ifade eder.
Adım 3: Sonucu yorumlayalım.
EBOB'ları \( 1 \) olan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, \( 8 \) ve \( 9 \) sayıları aralarında asaldır çünkü EBOB\( (8,9) = 1 \).
✅ Cevap: \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayıları aralarında asaldır.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Soru 7: Bir bahçeye \( 168 \) adet elma fidanı ve \( 192 \) adet armut fidanı dikilecektir. Fidanlar, her sırada eşit sayıda ve aynı tür fidanlar olacak şekilde dikilmek isteniyor. Her sırada en fazla kaç fidan olabilir? 🍎🍐
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde, farklı türdeki fidanları eşit sayıda ve aynı türden gruplara ayırmak istediğimiz için EBOB kullanırız. En fazla fidan sayısı demek, en büyük ortak böleni bulmak demektir.
Adım 1: Elma ve armut fidanı sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 168 = 2^3 \times 3^1 \times 7^1 \)
\( 192 = 2^6 \times 3^1 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ( \( 168 \)'den) ve \( 2^6 \) ( \( 192 \)'den) arasından \( 2^3 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^1 \) ( \( 168 \)'den) ve \( 3^1 \) ( \( 192 \)'den) arasından \( 3^1 \) seçilir.
Armut fidanlarından \( 192 \div 24 = 8 \) sıra oluşur.
Toplamda \( 7 + 8 = 15 \) sıra fidan dikilmiş olur.
✅ Cevap: Her sırada en fazla \( 24 \) fidan olabilir.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Soru 8: \( x \) bir doğal sayı olmak üzere, \( (12x+18) \) ve \( (24x+30) \) ifadelerinin EBOB'u kaçtır? 📌 İpucu: İfadelerdeki ortak çarpanları dışarı alın ve EBOB'un özelliklerini kullanın.
Çözüm ve Açıklama
Bu tür cebirsel ifadelerin EBOB'unu bulurken, öncelikle ifadeleri çarpanlarına ayırarak ortak terimleri belirlemeliyiz.
Soru 1: \( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulunuz. 💡 İpucu: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak olan en küçük üslü çarpanları seçin.
Çözüm:
Bu soruda, verilen \( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanacağız.
Adım 1: Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım.
Soru 3: \( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) ve \( B = 2^2 \times 3^4 \times 7^1 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının EBOB'unu bulunuz.
Çözüm:
Asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilen sayıların EBOB'unu bulmak daha kolaydır.
Adım 1: Her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları belirleyelim.
\( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
\( B = 2^2 \times 3^4 \times 7^1 \)
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür. \( 5 \) sadece \( A \)'da, \( 7 \) sadece \( B \)'de vardır.
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alalım.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^2 \) ve \( 3^4 \) arasından \( 3^2 \) seçilir.
✅ Cevap: \( A \) ve \( B \) sayılarının EBOB'u \( 36 \)'dır.
Örnek 4:
Soru 4: Bir marangoz, elindeki \( 108 \) cm ve \( 144 \) cm uzunluğundaki iki tahta parçasını eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde en büyük parçalara ayırmak istiyor. Buna göre, her bir parçanın uzunluğu kaç cm olmalıdır? 🪵
Çözüm:
Bu tür bir problemde, eşit uzunlukta en büyük parçaları bulmak için EBOB kullanırız.
Adım 1: Verilen tahta uzunluklarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 108 = 2^2 \times 3^3 \)
\( 144 = 2^4 \times 3^2 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^2 \) ( \( 108 \)'den) ve \( 2^4 \) ( \( 144 \)'ten) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^3 \) ( \( 108 \)'den) ve \( 3^2 \) ( \( 144 \)'ten) arasından \( 3^2 \) seçilir.
\( 144 \) cm'lik tahtadan \( 144 \div 36 = 4 \) parça elde edilir.
✅ Cevap: Her bir parçanın uzunluğu \( 36 \) cm olmalıdır.
Örnek 5:
Soru 5: Boyutları \( 120 \) metre ve \( 180 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir arsa, hiç boşluk kalmayacak ve parçalanmayacak şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç metre olabilir? 🏞️
Çözüm:
Dikdörtgen bir alanı eş kare parsellere ayırmak için, karenin kenar uzunluğunun hem uzun kenarı hem de kısa kenarı tam bölen en büyük sayı olması gerekir. Bu da EBOB anlamına gelir.
Adım 1: Arsanın kenar uzunlukları olan \( 120 \) ve \( 180 \) sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
\( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \)'tir.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^1 \) ve \( 3^2 \) arasından \( 3^1 \) seçilir.
\( 5 \) için en küçük üs: \( 5^1 \) ve \( 5^1 \) arasından \( 5^1 \) seçilir.
Kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla \( 60 \) metre olabilir.
Bu durumda;
Kısa kenar boyunca \( 120 \div 60 = 2 \) parsel,
Uzun kenar boyunca \( 180 \div 60 = 3 \) parsel yerleştirilebilir.
Toplamda \( 2 \times 3 = 6 \) adet eş kare parsel elde edilir.
✅ Cevap: Bir kenar uzunluğu en fazla \( 60 \) metre olabilir.
Örnek 6:
Soru 6: \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayılarının EBOB'u \( 1 \) ise, bu sayılar için ne söylenebilir?
Çözüm:
İki sayının EBOB'unun \( 1 \) olması, o sayıların aralarında asal olduğunu gösterir. Aralarında asal sayılar, \( 1 \)'den başka ortak pozitif tam böleni olmayan sayılardır.
Adım 1: EBOB tanımını hatırlayalım.
EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
Adım 2: Verilen durumu değerlendirelim.
EBOB\( ((2a+1), (3b-2)) = 1 \) olduğu belirtilmiştir. Bu durum, \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayılarının \( 1 \)'den başka ortak böleninin olmadığını ifade eder.
Adım 3: Sonucu yorumlayalım.
EBOB'ları \( 1 \) olan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, \( 8 \) ve \( 9 \) sayıları aralarında asaldır çünkü EBOB\( (8,9) = 1 \).
✅ Cevap: \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayıları aralarında asaldır.
Örnek 7:
Soru 7: Bir bahçeye \( 168 \) adet elma fidanı ve \( 192 \) adet armut fidanı dikilecektir. Fidanlar, her sırada eşit sayıda ve aynı tür fidanlar olacak şekilde dikilmek isteniyor. Her sırada en fazla kaç fidan olabilir? 🍎🍐
Çözüm:
Bu problemde, farklı türdeki fidanları eşit sayıda ve aynı türden gruplara ayırmak istediğimiz için EBOB kullanırız. En fazla fidan sayısı demek, en büyük ortak böleni bulmak demektir.
Adım 1: Elma ve armut fidanı sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 168 = 2^3 \times 3^1 \times 7^1 \)
\( 192 = 2^6 \times 3^1 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ( \( 168 \)'den) ve \( 2^6 \) ( \( 192 \)'den) arasından \( 2^3 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^1 \) ( \( 168 \)'den) ve \( 3^1 \) ( \( 192 \)'den) arasından \( 3^1 \) seçilir.
Armut fidanlarından \( 192 \div 24 = 8 \) sıra oluşur.
Toplamda \( 7 + 8 = 15 \) sıra fidan dikilmiş olur.
✅ Cevap: Her sırada en fazla \( 24 \) fidan olabilir.
Örnek 8:
Soru 8: \( x \) bir doğal sayı olmak üzere, \( (12x+18) \) ve \( (24x+30) \) ifadelerinin EBOB'u kaçtır? 📌 İpucu: İfadelerdeki ortak çarpanları dışarı alın ve EBOB'un özelliklerini kullanın.
Çözüm:
Bu tür cebirsel ifadelerin EBOB'unu bulurken, öncelikle ifadeleri çarpanlarına ayırarak ortak terimleri belirlemeliyiz.