💡 10. Sınıf Matematik: EBOB Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: EBOB Çözümlü Örnekler
\( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının En Büyük Ortak Bölenini (EBOB) bulunuz.
💡 İpucu: Sayıları asal çarpanlarına ayırarak ortak olan en küçük üslü çarpanları seçin.
Adım 1: Her iki sayıyı da asal çarpanlarına ayıralım.
\( 36 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^2 \)
\( 48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^4 \times 3^1 \)
Adım 2: Ortak olan asal çarpanları belirleyelim ve bu çarpanların en küçük üslerini alalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs \( 2^2 \) ( \( 36 \)'dan) ve \( 2^4 \) ( \( 48 \)'den) olduğundan, \( 2^2 \) alınır.
\( 3 \) için en küçük üs \( 3^2 \) ( \( 36 \)'dan) ve \( 3^1 \) ( \( 48 \)'den) olduğundan, \( 3^1 \) alınır.
Adım 3: Seçilen bu üslü ifadeleri çarpalım.
EBOB\( (36, 48) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12 \)
✅ Cevap: \( 36 \) ve \( 48 \) sayılarının EBOB'u \( 12 \)'dir.
\( 72 \), \( 108 \) ve \( 144 \) sayılarının EBOB'unu bulunuz.
Adım 1: Verilen tüm sayıları asal çarpanlarına ayıralım.
\( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^2 \)
\( 108 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3 \)
\( 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^2 \)
Adım 2: Tüm sayılarda ortak bulunan asal çarpanları belirleyelim ve her birinin en küçük üssünü seçelim.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \), \( 2^2 \), \( 2^4 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^2 \), \( 3^3 \), \( 3^2 \) arasından \( 3^2 \) seçilir.
Adım 3: Seçilen bu en küçük üslü ortak asal çarpanları çarpalım.
EBOB\( (72, 108, 144) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
✅ Cevap: \( 72 \), \( 108 \) ve \( 144 \) sayılarının EBOB'u \( 36 \)'dır.
\( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \) ve \( B = 2^2 \times 3^4 \times 7^1 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış olarak verilen \( A \) ve \( B \) sayılarının EBOB'unu bulunuz.
Adım 1: Her iki sayıda da ortak olan asal çarpanları belirleyelim.
\( A = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)
\( B = 2^2 \times 3^4 \times 7^1 \)
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür. \( 5 \) sadece \( A \)'da, \( 7 \) sadece \( B \)'de vardır.
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini alalım.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^2 \) ve \( 3^4 \) arasından \( 3^2 \) seçilir.
Adım 3: Seçilen bu üslü ifadeleri çarpalım.
EBOB\( (A, B) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
✅ Cevap: \( A \) ve \( B \) sayılarının EBOB'u \( 36 \)'dır.
Bir marangoz, elindeki \( 108 \) cm ve \( 144 \) cm uzunluğundaki iki tahta parçasını eşit uzunlukta ve hiç artmayacak şekilde en büyük parçalara ayırmak istiyor. Buna göre, her bir parçanın uzunluğu kaç cm olmalıdır? 🪵
Adım 1: Verilen tahta uzunluklarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 108 = 2^2 \times 3^3 \)
\( 144 = 2^4 \times 3^2 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^2 \) ( \( 108 \)'den) ve \( 2^4 \) ( \( 144 \)'ten) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^3 \) ( \( 108 \)'den) ve \( 3^2 \) ( \( 144 \)'ten) arasından \( 3^2 \) seçilir.
Adım 3: Seçilen üslü ifadeleri çarpalım.
EBOB\( (108, 144) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)
Her bir parçanın uzunluğu \( 36 \) cm olmalıdır. Bu durumda:
\( 108 \) cm'lik tahtadan \( 108 \div 36 = 3 \) parça,
\( 144 \) cm'lik tahtadan \( 144 \div 36 = 4 \) parça elde edilir.
✅ Cevap: Her bir parçanın uzunluğu \( 36 \) cm olmalıdır.
Boyutları \( 120 \) metre ve \( 180 \) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir arsa, hiç boşluk kalmayacak ve parçalanmayacak şekilde eş kare parsellere ayrılacaktır. Bu kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla kaç metre olabilir? 🏞️
Adım 1: Arsanın kenar uzunlukları olan \( 120 \) ve \( 180 \) sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 120 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \)
\( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \), \( 3 \) ve \( 5 \)'tir.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ve \( 2^2 \) arasından \( 2^2 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^1 \) ve \( 3^2 \) arasından \( 3^1 \) seçilir.
\( 5 \) için en küçük üs: \( 5^1 \) ve \( 5^1 \) arasından \( 5^1 \) seçilir.
Adım 3: Seçilen üslü ifadeleri çarpalım.
EBOB\( (120, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
Kare parsellerin bir kenar uzunluğu en fazla \( 60 \) metre olabilir.
Bu durumda;
Kısa kenar boyunca \( 120 \div 60 = 2 \) parsel,
Uzun kenar boyunca \( 180 \div 60 = 3 \) parsel yerleştirilebilir.
Toplamda \( 2 \times 3 = 6 \) adet eş kare parsel elde edilir.
✅ Cevap: Bir kenar uzunluğu en fazla \( 60 \) metre olabilir.
\( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayılarının EBOB'u \( 1 \) ise, bu sayılar için ne söylenebilir?
Adım 1: EBOB tanımını hatırlayalım.
EBOB, iki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen en büyük pozitif tam sayıdır.
Adım 2: Verilen durumu değerlendirelim.
EBOB\( ((2a+1), (3b-2)) = 1 \) olduğu belirtilmiştir. Bu durum, \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayılarının \( 1 \)'den başka ortak böleninin olmadığını ifade eder.
Adım 3: Sonucu yorumlayalım.
EBOB'ları \( 1 \) olan sayılara aralarında asal sayılar denir. Örneğin, \( 8 \) ve \( 9 \) sayıları aralarında asaldır çünkü EBOB\( (8,9) = 1 \).
✅ Cevap: \( (2a+1) \) ve \( (3b-2) \) sayıları aralarında asaldır.
Bir bahçeye \( 168 \) adet elma fidanı ve \( 192 \) adet armut fidanı dikilecektir. Fidanlar, her sırada eşit sayıda ve aynı tür fidanlar olacak şekilde dikilmek isteniyor. Her sırada en fazla kaç fidan olabilir? 🍎🍐
Adım 1: Elma ve armut fidanı sayılarının asal çarpanlarını bulalım.
\( 168 = 2^3 \times 3^1 \times 7^1 \)
\( 192 = 2^6 \times 3^1 \)
Adım 2: Ortak asal çarpanların en küçük üslerini seçerek EBOB'u hesaplayalım.
Ortak asal çarpanlar \( 2 \) ve \( 3 \)'tür.
\( 2 \) için en küçük üs: \( 2^3 \) ( \( 168 \)'den) ve \( 2^6 \) ( \( 192 \)'den) arasından \( 2^3 \) seçilir.
\( 3 \) için en küçük üs: \( 3^1 \) ( \( 168 \)'den) ve \( 3^1 \) ( \( 192 \)'den) arasından \( 3^1 \) seçilir.
Adım 3: Seçilen üslü ifadeleri çarpalım.
EBOB\( (168, 192) = 2^3 \times 3^1 = 8 \times 3 = 24 \)
Her sırada en fazla \( 24 \) fidan olabilir.
Bu durumda;
Elma fidanlarından \( 168 \div 24 = 7 \) sıra,
Armut fidanlarından \( 192 \div 24 = 8 \) sıra oluşur.
Toplamda \( 7 + 8 = 15 \) sıra fidan dikilmiş olur.
✅ Cevap: Her sırada en fazla \( 24 \) fidan olabilir.
\( x \) bir doğal sayı olmak üzere, \( (12x+18) \) ve \( (24x+30) \) ifadelerinin EBOB'u kaçtır?
📌 İpucu: İfadelerdeki ortak çarpanları dışarı alın ve EBOB'un özelliklerini kullanın.
Adım 1: Her iki ifadeyi de çarpanlarına ayıralım.
\( 12x+18 = 6(2x+3) \) ( \( 12 \) ve \( 18 \)'in EBOB'u \( 6 \)'dır)
\( 24x+30 = 6(4x+5) \) ( \( 24 \) ve \( 30 \)'un EBOB'u \( 6 \)'dır)
Adım 2: Şimdi EBOB\( (6(2x+3), 6(4x+5)) \) ifadesini bulmamız gerekiyor.
EBOB'un bir özelliği şudur: EBOB\( (k \times a, k \times b) = k \times \) EBOB\( (a, b) \). Burada \( k = 6 \)'dır.
O halde, EBOB\( (12x+18, 24x+30) = 6 \times \) EBOB\( (2x+3, 4x+5) \) olur.
Adım 3: EBOB\( (2x+3, 4x+5) \) ifadesini bulalım.
İki sayının EBOB'unu bulurken, bu sayılardan birinin katlarını diğerinden çıkarmak EBOB'u değiştirmez.
EBOB\( (2x+3, 4x+5) = \) EBOB\( (2x+3, (4x+5) - 2(2x+3)) \)
\( (4x+5) - 2(2x+3) = 4x+5 - (4x+6) = 4x+5-4x-6 = -1 \)
Fakat EBOB pozitif bir değer olmalıdır, bu yüzden mutlak değerini alırız: \( |-1| = 1 \).
Yani, EBOB\( (2x+3, 4x+5) = \) EBOB\( (2x+3, 1) = 1 \). Çünkü herhangi bir sayı ile \( 1 \)'in EBOB'u \( 1 \)'dir.
Bu, \( (2x+3) \) ve \( (4x+5) \) ifadelerinin aralarında asal olduğu anlamına gelir.
Adım 4: Sonucu birleştirelim.
EBOB\( (12x+18, 24x+30) = 6 \times \) EBOB\( (2x+3, 4x+5) = 6 \times 1 = 6 \)
✅ Cevap: Verilen ifadelerin EBOB'u \( 6 \)'dır.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ebob/sorular