EBOB Ders Notu

İki veya daha fazla sayının ortak bölenleri arasında bulunan en büyük sayıya En Büyük Ortak Bölen (EBOB) denir. EBOB, sayıların bölünebilme özelliklerini anlamak ve problem çözümlerinde kullanmak için temel bir kavramdır.

EBOB Nedir? 📌

İki pozitif tam sayının EBOB'u, bu iki sayıyı da tam bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının bölenlerini inceleyelim:

• 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18

Bu iki sayının ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır. Bu ortak bölenler arasında en büyüğü 6 olduğu için, 12 ve 18 sayılarının EBOB'u 6'dır. Bu durum \( \text{EBOB}(12, 18) = 6 \) şeklinde gösterilir.

EBOB Nasıl Bulunur?

EBOB bulmanın farklı yöntemleri vardır. En yaygın ve etkili yöntem asal çarpanlara ayırma yöntemidir.

1. Bölenleri Listeleyerek Bulma (Küçük Sayılar İçin)

Bu yöntem, küçük sayılar için anlaşılması kolaydır ancak büyük sayılar için pratik değildir.

Örnek: 20 ve 30 sayılarının EBOB'unu bölenlerini listeleyerek bulalım.

• 20'nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20
• 30'un bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Ortak bölenler: 1, 2, 5, 10. En büyüğü 10 olduğundan, \( \text{EBOB}(20, 30) = 10 \) olur.

2. Asal Çarpanlara Ayırarak Bulma (En Sık Kullanılan Yöntem)

Bu yöntem, iki veya daha fazla sayının EBOB'unu bulmak için daha sistematik ve genellikle daha hızlıdır. Sayılar, en küçük asal sayıdan başlayarak ortak bölenleri bulunana kadar bölünür. Ortak bölenler işaretlenir ve bu işaretli asal çarpanların çarpımı EBOB'u verir.

Adımlar:

1. Sayılar yan yana yazılır ve yanına dikey bir çizgi çekilir.
2. En küçük asal sayıdan (2) başlayarak, sayıların her ikisi de bölünebiliyorsa bölünür ve sonuçları altına yazılır. Bölünen asal sayı işaretlenir.
3. Bölüm işlemi, tüm sayılar 1 olana kadar devam eder. Ancak EBOB için sadece her ikisini de bölen asal çarpanların çarpımı yeterlidir.
4. İşaretli (her iki sayıyı da bölen) asal çarpanlar çarpılır. Bu çarpım EBOB'u verir.

Örnek: 72 ve 108 sayılarının EBOB'unu asal çarpanlara ayırarak bulalım.

Aşağıdaki gibi bir tablo düşünelim (çizim yerine metinsel açıklama):

72 ve 108 sayılarını yan yana yazarız.

• 72, 108 | 2 (Her ikisi de 2'ye bölünür. 2'yi işaretle.)
• 36, 54 | 2 (Her ikisi de 2'ye bölünür. 2'yi işaretle.)
• 18, 27 | 2 (Sadece 18 bölünür, 27 bölünmez. 2'yi işaretleme.)
• 9, 27 | 3 (Her ikisi de 3'e bölünür. 3'ü işaretle.)
• 3, 9 | 3 (Her ikisi de 3'e bölünür. 3'ü işaretle.)
• 1, 3 | 3 (Sadece 3 bölünür.)
• 1, 1 |

İşaretlenen asal çarpanlar: 2, 2, 3, 3.

Bu asal çarpanların çarpımı EBOB'u verir: \( \text{EBOB}(72, 108) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 4 \times 9 = 36 \).

Üç veya Daha Fazla Sayının EBOB'u

Aynı yöntem, üç veya daha fazla sayının EBOB'unu bulmak için de kullanılabilir. Tüm sayıları aynı anda bölen asal çarpanlar işaretlenir.

Örnek: 24, 36 ve 60 sayılarının EBOB'unu bulalım.

• 24, 36, 60 | 2 (Tümü 2'ye bölünür. İşaretle.)
• 12, 18, 30 | 2 (Tümü 2'ye bölünür. İşaretle.)
• 6, 9, 15 | 2 (Sadece 6 bölünür.)
• 3, 9, 15 | 3 (Tümü 3'e bölünür. İşaretle.)
• 1, 3, 5 | 3 (Sadece 3 bölünür.)
• 1, 1, 5 | 5 (Sadece 5 bölünür.)
• 1, 1, 1 |

İşaretlenen asal çarpanlar: 2, 2, 3.

EBOB\( (24, 36, 60) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \).

EBOB'un Özellikleri 💡

EBOB ile ilgili bilmeniz gereken bazı önemli özellikler şunlardır:

• En küçük sayıdan büyük olamaz: İki sayının EBOB'u, bu sayılardan küçük veya eşit olmak zorundadır. Örneğin, \( \text{EBOB}(a, b) \le a \) ve \( \text{EBOB}(a, b) \le b \).
• Bölünebilme durumu: Eğer bir sayı (a), başka bir sayıyı (b) tam olarak bölüyorsa, bu iki sayının EBOB'u küçük olan sayıya eşittir. Yani, eğer \( a | b \) ise, \( \text{EBOB}(a, b) = a \) olur.
  Örnek: \( \text{EBOB}(5, 20) = 5 \) çünkü 5, 20'yi tam böler.
• Aralarında asal sayılar: Ortak böleni sadece 1 olan sayılara aralarında asal sayılar denir. Aralarında asal sayıların EBOB'u her zaman 1'dir.
  Örnek: \( \text{EBOB}(7, 10) = 1 \) olduğu için 7 ve 10 aralarında asaldır.
• EBOB ile EKOK ilişkisi: İki pozitif tam sayının çarpımı, bu sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Bu, 10. sınıf müfredatında önemli bir formüldür.
  \[ a \times b = \text{EBOB}(a, b) \times \text{EKOK}(a, b) \] Örnek: 12 ve 18 için \( \text{EBOB}(12, 18) = 6 \) ve \( \text{EKOK}(12, 18) = 36 \) olduğunu biliyoruz. \[ 12 \times 18 = 216 \] \[ \text{EBOB}(12, 18) \times \text{EKOK}(12, 18) = 6 \times 36 = 216 \] Görüldüğü gibi, \( 12 \times 18 = \text{EBOB}(12, 18) \times \text{EKOK}(12, 18) \) eşitliği sağlanır.

EBOB Problemleri Çözümü 🧩

EBOB problemleri genellikle büyük bir bütünü eşit parçalara ayırma, en büyük ortak ölçüyü bulma veya bir grup nesneyi eşit gruplara bölme gibi senaryolarda karşımıza çıkar. Soruda "en büyük", "en fazla", "eşit parçalara ayırma" gibi ifadeler varsa, genellikle EBOB kullanılması gerekir.

Örnek 1: Boyutları 48 metre ve 60 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir tarlanın etrafına ve içine eşit aralıklarla ve en az sayıda ağaç dikilecektir. İki ağaç arasındaki mesafe en fazla kaç metre olmalıdır?

Çözüm: Ağaçlar arasındaki mesafenin en fazla olması için, bu mesafenin hem 48'i hem de 60'ı bölen en büyük sayı olması gerekir. Yani \( \text{EBOB}(48, 60) \) bulunmalıdır.

• 48, 60 | 2 (İşaretle)
• 24, 30 | 2 (İşaretle)
• 12, 15 | 2
• 6, 15 | 2
• 3, 15 | 3 (İşaretle)
• 1, 5 | 5
• 1, 1 |

İşaretlenen asal çarpanlar: 2, 2, 3.

\( \text{EBOB}(48, 60) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \).

İki ağaç arasındaki mesafe en fazla 12 metre olmalıdır.

Örnek 2: 90 kilogram un, 120 kilogram şeker ve 150 kilogram pirinç, birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki çuvallara doldurulacaktır. Bir çuvalın alabileceği en fazla ağırlık kaç kilogramdır?

Çözüm: Çuvalların alabileceği ağırlığın en fazla olması için, bu ağırlığın hem 90'ı, hem 120'yi hem de 150'yi bölen en büyük sayı olması gerekir. Yani \( \text{EBOB}(90, 120, 150) \) bulunmalıdır.

• 90, 120, 150 | 2 (İşaretle)
• 45, 60, 75 | 2
• 45, 30, 75 | 2
• 45, 15, 75 | 3 (İşaretle)
• 15, 5, 25 | 3
• 5, 5, 25 | 5 (İşaretle)
• 1, 1, 5 | 5
• 1, 1, 1 |

İşaretlenen asal çarpanlar: 2, 3, 5.

\( \text{EBOB}(90, 120, 150) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \).

Bir çuvalın alabileceği en fazla ağırlık 30 kilogramdır.