🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
💡 Ebob ve Ekok Hesaplama
60 ve 84 sayılarının en büyük ortak bölenini (Ebob) ve en küçük ortak katını (Ekok) bulunuz.
60 ve 84 sayılarının en büyük ortak bölenini (Ebob) ve en küçük ortak katını (Ekok) bulunuz.
Çözüm:
👉 Ebob ve Ekok'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırırız.
Ebob\( (60, 84) = 2 \times 3 = 6 \)
Ekok\( (60, 84) = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420 \)
- 60 ve 84 sayılarını yan yana yazıp en küçük asal sayıdan başlayarak böleriz.
- Bölenlerden her iki sayıyı da bölenleri işaretleriz (Ebob için).
- Tüm bölenleri çarparak Ekok'u buluruz.
Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
\[ \begin{array}{c|cc} 60 & 84 & \\ 30 & 42 & 2^\star \\ 15 & 21 & 2 \\ 15 & 21 & 3^\star \\ 5 & 7 & 5 \\ 1 & 7 & 7 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \]Adım 2: Ebob Hesabı
✅ İşaretli asal çarpanlar her iki sayıyı da böldüğü için Ebob'u oluşturur.Ebob\( (60, 84) = 2 \times 3 = 6 \)
Adım 3: Ekok Hesabı
✅ Tüm asal çarpanların çarpımı Ekok'u verir.Ekok\( (60, 84) = 2 \times 2 \times 3 \times 5 \times 7 = 420 \)
Örnek 2:
📌 Üç Sayının Ebob ve Ekok'u
24, 36 ve 48 sayılarının Ebob'unu ve Ekok'unu bulunuz.
24, 36 ve 48 sayılarının Ebob'unu ve Ekok'unu bulunuz.
Çözüm:
👉 Üç sayının Ebob ve Ekok'unu bulmak için yine asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız.
Ebob\( (24, 36, 48) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
Ekok\( (24, 36, 48) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 144 \)
- Her üç sayıyı da aynı anda bölen asal çarpanları işaretleriz (Ebob için).
- Tüm asal çarpanların çarpımı Ekok'u verir.
Adım 1: Asal Çarpanlara Ayırma
\[ \begin{array}{c|ccc} 24 & 36 & 48 & \\ 12 & 18 & 24 & 2^\star \\ 6 & 9 & 12 & 2^\star \\ 3 & 9 & 6 & 2 \\ 1 & 9 & 3 & 3^\star \\ 1 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & \\ \end{array} \]Adım 2: Ebob Hesabı
✅ İşaretli asal çarpanlar (her üç sayıyı da bölenler) çarpılarak Ebob bulunur.Ebob\( (24, 36, 48) = 2 \times 2 \times 3 = 12 \)
Adım 3: Ekok Hesabı
✅ Tüm asal çarpanların çarpımı Ekok'u verir.Ekok\( (24, 36, 48) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 144 \)
Örnek 3:
📝 Ebob ve Ekok İlişkisi
İki sayının Ebob'u 8, Ekok'u ise 240'tır. Bu sayılardan biri 40 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
İki sayının Ebob'u 8, Ekok'u ise 240'tır. Bu sayılardan biri 40 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
👉 İki sayının çarpımı, bu sayıların Ebob'u ile Ekok'unun çarpımına eşittir. Bu önemli bir kuraldır.
Ebob\( (a, b) = 8 \)
Ekok\( (a, b) = 240 \)
Birinci sayı \( a = 40 \)
İkinci sayı \( b = ? \)
- Birinci sayıya 'a', ikinci sayıya 'b' diyelim.
- Ebob\( (a, b) \times \) Ekok\( (a, b) = a \times b \) formülünü kullanırız.
Adım 1: Verilenleri Yerine Yazma
Verilenler:Ebob\( (a, b) = 8 \)
Ekok\( (a, b) = 240 \)
Birinci sayı \( a = 40 \)
İkinci sayı \( b = ? \)
Adım 2: Formülü Uygulama
\[ 8 \times 240 = 40 \times b \]Adım 3: b'yi Bulma
\[ 1920 = 40 \times b \] Her iki tarafı 40'a bölelim: \[ b = \frac{1920}{40} \] \[ b = 48 \] ✅ Diğer sayı 48'dir.
Örnek 4:
🎯 Ebob ve Toplamı Verilen Sayılar
Ebob'u 15 olan iki farklı doğal sayının toplamı 135'tir. Bu sayılardan büyük olanı en fazla kaç olabilir?
Ebob'u 15 olan iki farklı doğal sayının toplamı 135'tir. Bu sayılardan büyük olanı en fazla kaç olabilir?
Çözüm:
👉 Ebob'u verilen sayıları, Ebob'un katları ve aralarında asal olacak şekilde ifade ederiz.
\( x \) ve \( y \) aralarında asal ve \( x \neq y \).
\( x + y = 9 \) ve \( x, y \) aralarında asal ve \( x \neq y \) koşullarını sağlayan \( (x, y) \) ikilileri:
Eğer \( y = 8 \) olursa, büyük sayı \( b = 15 \times 8 = 120 \) olur.
Diğer sayı \( a = 15 \times 1 = 15 \) olur. (15 ve 120 farklı ve Ebob'ları 15'tir, toplamları 135'tir.) ✅ Büyük olan sayı en fazla 120 olabilir.
- İki sayıya 'a' ve 'b' diyelim.
- Ebob\( (a, b) = 15 \) olduğu için \( a = 15x \) ve \( b = 15y \) şeklinde yazabiliriz.
- Burada 'x' ve 'y' aralarında asal olmalıdır. Ayrıca, sayılar farklı olduğu için \( x \neq y \) olmalıdır.
Adım 1: Sayıları İfade Etme
Sayılar: \( a = 15x \) ve \( b = 15y \)\( x \) ve \( y \) aralarında asal ve \( x \neq y \).
Adım 2: Toplamı Kullanma
Toplamları 135 olduğu için: \[ 15x + 15y = 135 \] 15 parantezine alalım: \[ 15(x + y) = 135 \] Her iki tarafı 15'e bölelim: \[ x + y = \frac{135}{15} \] \[ x + y = 9 \]Adım 3: Büyük Sayıyı En Fazla Yapma
Büyük sayının en fazla olması için \( x \) veya \( y \)'den birini mümkün olduğunca büyük seçmeliyiz.\( x + y = 9 \) ve \( x, y \) aralarında asal ve \( x \neq y \) koşullarını sağlayan \( (x, y) \) ikilileri:
- \( (1, 8) \) 👉 1 ve 8 aralarında asal.
- \( (2, 7) \) 👉 2 ve 7 aralarında asal.
- \( (4, 5) \) 👉 4 ve 5 aralarında asal.
Eğer \( y = 8 \) olursa, büyük sayı \( b = 15 \times 8 = 120 \) olur.
Diğer sayı \( a = 15 \times 1 = 15 \) olur. (15 ve 120 farklı ve Ebob'ları 15'tir, toplamları 135'tir.) ✅ Büyük olan sayı en fazla 120 olabilir.
Örnek 5:
📦 Ebob Problemi - Eşit Parçalara Ayırma
Boyutları 120 cm ve 180 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kumaş, hiç artmayacak şekilde en büyük ve eşit kare parçalara ayrılacaktır. Buna göre, bir kenarı kaç cm olan kareler elde edilir ve toplam kaç adet kare parça oluşur?
Boyutları 120 cm ve 180 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir kumaş, hiç artmayacak şekilde en büyük ve eşit kare parçalara ayrılacaktır. Buna göre, bir kenarı kaç cm olan kareler elde edilir ve toplam kaç adet kare parça oluşur?
Çözüm:
👉 En büyük ve eşit kare parçalara ayırma problemi, Ebob (En Büyük Ortak Bölen) problemidir.
✅ Elde edilecek karelerin bir kenar uzunluğu 30 cm'dir.
Uzun kenar boyunca kaç kare sığar: \( \frac{180}{30} = 6 \) adet
Toplam kare sayısı: \( 4 \times 6 = 24 \) adet ✅ Toplam 24 adet kare parça oluşur.
- Karenin bir kenar uzunluğu, dikdörtgenin kenar uzunluklarının Ebob'u olmalıdır.
- Toplam parça sayısını bulmak için, dikdörtgenin alanını bir karenin alanına böleriz.
Adım 1: Karenin Bir Kenar Uzunluğunu Bulma (Ebob)
120 ve 180'in Ebob'unu bulalım: \[ \begin{array}{c|cc} 120 & 180 & \\ 60 & 90 & 2^\star \\ 30 & 45 & 2 \\ 15 & 45 & 3^\star \\ 5 & 15 & 3 \\ 5 & 5 & 5^\star \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] Ebob\( (120, 180) = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)✅ Elde edilecek karelerin bir kenar uzunluğu 30 cm'dir.
Adım 2: Toplam Kare Sayısını Bulma
Kısa kenar boyunca kaç kare sığar: \( \frac{120}{30} = 4 \) adetUzun kenar boyunca kaç kare sığar: \( \frac{180}{30} = 6 \) adet
Toplam kare sayısı: \( 4 \times 6 = 24 \) adet ✅ Toplam 24 adet kare parça oluşur.
Örnek 6:
⏰ Ekok Problemi - Ortak Buluşma
Bir otobüs durağından A otobüsü her 45 dakikada bir, B otobüsü ise her 60 dakikada bir kalkmaktadır. İki otobüs ilk kez saat 08:00'de birlikte kalktıklarına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte kalkarlar?
Bir otobüs durağından A otobüsü her 45 dakikada bir, B otobüsü ise her 60 dakikada bir kalkmaktadır. İki otobüs ilk kez saat 08:00'de birlikte kalktıklarına göre, ikinci kez saat kaçta birlikte kalkarlar?
Çözüm:
👉 İki otobüsün tekrar birlikte kalktığı zamanı bulmak için geçen sürelerin Ekok'unu (En Küçük Ortak Kat) bulmalıyız.
✅ 180 dakika sonra tekrar birlikte kalkacaklardır.
08:00 + 3 saat = 11:00 ✅ İkinci kez saat 11:00'de birlikte kalkarlar.
- 45 ve 60'ın Ekok'unu hesaplarız.
- Bulduğumuz Ekok, birlikte kalktıktan sonra ne kadar süre sonra tekrar birlikte kalkacaklarını gösterir.
- Bu süreyi ilk kalkış saatine ekleriz.
Adım 1: Ekok'u Bulma
45 ve 60'ın Ekok'unu bulalım: \[ \begin{array}{c|cc} 45 & 60 & \\ 45 & 30 & 2 \\ 45 & 15 & 3^\star \\ 15 & 5 & 3 \\ 5 & 5 & 5^\star \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] Ekok\( (45, 60) = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 180 \) dakika✅ 180 dakika sonra tekrar birlikte kalkacaklardır.
Adım 2: Dakikayı Saate Çevirme
180 dakika = \( \frac{180}{60} = 3 \) saatAdım 3: İkinci Kez Birlikte Kalkış Saatini Bulma
İlk kalkış saati 08:00 idi.08:00 + 3 saat = 11:00 ✅ İkinci kez saat 11:00'de birlikte kalkarlar.
Örnek 7:
🌳 Ağaç Dikme Problemi
Kenar uzunlukları 24 metre ve 36 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Her fidanın maliyeti 15 TL olduğuna göre, bu iş için en az kaç TL harcanır?
Kenar uzunlukları 24 metre ve 36 metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına köşelere de gelecek şekilde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Her fidanın maliyeti 15 TL olduğuna göre, bu iş için en az kaç TL harcanır?
Çözüm:
👉 "Eşit aralıklarla" ve "köşelere de gelecek şekilde" ifadeleri, fidan aralıklarının bahçe kenar uzunluklarının ortak böleni olması gerektiğini gösterir. En az maliyet için en az fidan dikilmelidir, bu da fidanlar arasındaki mesafenin en büyük olmasını gerektirir. Bu bir Ebob problemidir.
✅ Fidanlar arası mesafe 6 metre olmalıdır.
Toplam fidan sayısı = Çevre / Fidanlar arası mesafe
Toplam fidan sayısı = \( \frac{120}{6} = 20 \) adet
Toplam maliyet = Fidan sayısı \( \times \) Fidan maliyeti
Toplam maliyet = \( 20 \times 15 = 300 \) TL ✅ Bu iş için en az 300 TL harcanır.
- Fidanlar arasındaki mesafeyi bulmak için 24 ve 36'nın Ebob'unu hesaplarız.
- Bahçenin çevresini bu mesafeye bölerek toplam fidan sayısını buluruz.
- Fidan sayısını fidan maliyeti ile çarparak toplam maliyeti buluruz.
Adım 1: Fidanlar Arasındaki Mesafeyi Bulma (Ebob)
24 ve 36'nın Ebob'unu bulalım: \[ \begin{array}{c|cc} 24 & 36 & \\ 12 & 18 & 2^\star \\ 6 & 9 & 2 \\ 3 & 9 & 3^\star \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] Ebob\( (24, 36) = 2 \times 3 = 6 \) metre✅ Fidanlar arası mesafe 6 metre olmalıdır.
Adım 2: Toplam Fidan Sayısını Bulma
Bahçenin çevresi: \( 2 \times (24 + 36) = 2 \times 60 = 120 \) metreToplam fidan sayısı = Çevre / Fidanlar arası mesafe
Toplam fidan sayısı = \( \frac{120}{6} = 20 \) adet
Adım 3: Toplam Maliyeti Bulma
Her fidanın maliyeti 15 TL.Toplam maliyet = Fidan sayısı \( \times \) Fidan maliyeti
Toplam maliyet = \( 20 \times 15 = 300 \) TL ✅ Bu iş için en az 300 TL harcanır.
Örnek 8:
🚌 Okul Servisleri
Bir okulda iki farklı servis güzergahı bulunmaktadır. Birinci güzergahtaki servisler 30 dakikada bir, ikinci güzergahtaki servisler ise 40 dakikada bir okuldan hareket etmektedir. Sabah 07:30'da ilk kez aynı anda hareket eden bu iki servis, gün içinde kaç dakika sonra tekrar aynı anda hareket eder?
Bir okulda iki farklı servis güzergahı bulunmaktadır. Birinci güzergahtaki servisler 30 dakikada bir, ikinci güzergahtaki servisler ise 40 dakikada bir okuldan hareket etmektedir. Sabah 07:30'da ilk kez aynı anda hareket eden bu iki servis, gün içinde kaç dakika sonra tekrar aynı anda hareket eder?
Çözüm:
👉 Servislerin tekrar aynı anda hareket etme zamanını bulmak, periyodik olayların tekrar buluşması anlamına gelir. Bu tür durumlar Ekok (En Küçük Ortak Kat) ile çözülür.
✅ İki servis, ilk kez aynı anda hareket ettikten 120 dakika sonra tekrar aynı anda hareket eder.
- İlk olarak, 30 ve 40 sayılarının Ekok'unu bulmalıyız. Bu bize iki servisin kaç dakika sonra tekrar aynı anda hareket edeceğini verecektir.
Adım 1: Servis Sürelerinin Ekok'unu Bulma
30 ve 40'ın Ekok'unu bulalım: \[ \begin{array}{c|cc} 30 & 40 & \\ 15 & 20 & 2 \\ 15 & 10 & 2 \\ 15 & 5 & 3 \\ 5 & 5 & 5 \\ 1 & 1 & \\ \end{array} \] Ekok\( (30, 40) = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120 \) dakika✅ İki servis, ilk kez aynı anda hareket ettikten 120 dakika sonra tekrar aynı anda hareket eder.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-ebob-ekok/sorular