📝 10. Sınıf Matematik: Ebob Ekok Ders Notu
İki ya da daha fazla doğal sayının ortak bölenleri ve ortak katları, matematiksel problemlerde hem teorik hesaplamalarda hem de günlük yaşam uygulamalarında sıklıkla karşımıza çıkar. Tam sayılarda bölünebilme kuralları ile doğrudan ilişkili olan EBOB ve EKOK kavramları, problemlerin sadeleştirilmesinde ve sistemli bir şekilde çözülmesinde temel rol oynar.
📌 EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölebilen en büyük doğal sayıya bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB) denir. \(a\) ve \(b\) doğal sayılarının EBOB'u \(EBOB(a, b)\) veya \((a, b)_{ebob}\) şeklinde gösterilir.
EBOB Bulma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en küçük olanlar seçilir ve birbiriyle çarpılır.
Örnek: \(24\) ve \(36\) sayılarının EBOB'unu bulalım.
\(24 = 2^3 \times 3^1\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
Ortak asal çarpanlar \(2\) ve \(3\)'tür. En küçük üslü olanlar seçilirse:
\(EBOB(24, 36) = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\) bulunur.
📌 EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki veya daha fazla doğal sayının pozitif katlarından en küçük olanına bu sayıların En Küçük Ortak Katı (EKOK) denir. \(a\) ve \(b\) doğal sayılarının EKOK'u \(EKOK(a, b)\) veya \((a, b)_{ekok}\) şeklinde gösterilir.
EKOK Bulma Yöntemi: Sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan asal çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak olmayan tüm asal çarpanlar alınır ve birbiriyle çarpılır.
Örnek: \(24\) ve \(36\) sayılarının EKOK'unu bulalım.
\(24 = 2^3 \times 3^1\)
\(36 = 2^2 \times 3^2\)
En büyük üslü asal çarpanlar seçilirse:
\(EKOK(24, 36) = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = 72\) bulunur.
💡 EBOB ve EKOK Temel Özellikleri
EBOB ve EKOK hesaplamalarında işlemlerimizi hızlandıran temel kurallar şunlardır:
- Aralarında asal olan iki doğal sayının EBOB'u \(1\)'e eşittir. \[ EBOB(a, b) = 1 \]
- Aralarında asal olan iki doğal sayının EKOK'u, bu sayıların çarpımına eşittir. \[ EKOK(a, b) = a \times b \]
- Herhangi iki \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayısı için, sayıların çarpımı EBOB'ları ile EKOK'larının çarpımına eşittir. \[ a \times b = EBOB(a, b) \times EKOK(a, b) \]
- \(a\) sayısı \(b\) sayısının bir tam katı ise (\(a > b\)): \[ EBOB(a, b) = b \] \[ EKOK(a, b) = a \]
⚙️ EBOB ve EKOK Problemleri Mantığı
Problemlerde hangi yöntemin kullanılacağını belirlemek oldukça kolaydır:
| Kavram | Problem Tipi | Genel Mantık |
|---|---|---|
| EBOB | ||
| EKOK |
✏️ Çözümlü Örnek Sorular
Soru 1
Aralarında asal iki sayının EKOK'u \(120\)'dir. Bu sayılardan biri \(8\) olduğuna göre diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
Aralarında asal iki sayının EKOK'u bu sayıların çarpımına eşittir. Bilinmeyen sayıya \(x\) diyelim.
\[ 8 \times x = 120 \]
\[ x = \frac{120}{8} \]
\[ x = 15 \]
Diğer sayı \(15\) olarak bulunur.
Soru 2
Boyutları \(45\) metre ve \(60\) metre olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin etrafına, köşelerine de gelmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Bu iş için en az kaç ağaç gereklidir?
Çözüm:
Büyük bir alanı eşit parçalara böleceğimiz için EBOB kullanırız. Ağaçlar arasındaki mesafe \(EBOB(45, 60)\) olmalıdır.
\(45 = 3^2 \times 5^1\)
\(60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1\)
\(EBOB(45, 60) = 3^1 \times 5^1 = 15\) metre (iki ağaç arasındaki mesafe).
Ağaç sayısı bahçenin çevresinin iki ağaç arasındaki mesafeye bölünmesiyle bulunur:
Çevre = \(2 \times (45 + 60) = 2 \times 105 = 210\) metre.
Ağaç Sayısı = \(\frac{210}{15} = 14\) tane ağaç gereklidir.
Soru 3
Bir limandan kalkan üç farklı gemi sırasıyla \(6\), \(8\) ve \(10\) günde bir sefer yapmaktadır. Bu üç gemi aynı anda limandan ayrıldıktan en az kaç gün sonra tekrar birlikte limandan ayrılırlar?
Çözüm:
Zaman tekrarları ve karşılaşma problemleri EKOK ile çözülür. Gemilerin tekrar karşılaşacağı gün sayısı \(EKOK(6, 8, 10)\) değerine eşittir.
\(6 = 2 \times 3\)
\(8 = 2^3\)
\(10 = 2 \times 5\)
\(EKOK(6, 8, 10) = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 = 8 \times 3 \times 5 = 120\)
Gemiler en az \(120\) gün sonra tekrar birlikte sefer yapar.