🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile ifade edilen problemler Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile ifade edilen problemler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çiftçi, tarlasındaki domates verimini artırmak için yeni bir gübre kullanmaya karar veriyor. Gübrenin miktarını (x kg) artırdıkça, elde ettiği domates miktarının (y kg) doğrusal bir ilişki ile arttığını gözlemliyor. Başlangıçta gübre kullanmadığında (x=0 kg) 100 kg domates elde ederken, 5 kg gübre kullandığında 250 kg domates elde ediyor.
Bu çiftçinin gübre miktarına bağlı olarak elde edeceği domates miktarını gösteren doğrusal fonksiyonu bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi bir doğrusal fonksiyon ile modelleyebiliriz. Doğrusal fonksiyonun genel formu \( y = mx + c \) şeklindedir.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Belirleme
- Gübre miktarı (x) ve domates miktarı (y) arasındaki ilişki doğrusal. - Başlangıçta (x=0 kg) domates miktarı (y=100 kg). Bu, fonksiyonun y-keseni (c) değeridir. Yani, \( c = 100 \). - 5 kg gübre (x=5 kg) kullanıldığında domates miktarı 250 kg (y=250 kg). - Adım 2: Eğim (m) Değerini Hesaplama
Doğrusal bir fonksiyonda eğim, y'deki değişimin x'teki değişime oranıdır. İki noktası bilinen doğrunun eğimi şu formülle bulunur: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Burada noktalarımız \( (0, 100) \) ve \( (5, 250) \). \( m = \frac{250 - 100}{5 - 0} = \frac{150}{5} = 30 \). Yani, her 1 kg gübre artışı için domates miktarı 30 kg artmaktadır. - Adım 3: Doğrusal Fonksiyonu Yazma
Eğimi (m=30) ve y-kesenini (c=100) bulduğumuza göre, fonksiyonumuzun denklemi: \( y = 30x + 100 \) Bu fonksiyon, çiftçinin kullanacağı gübre miktarına (x) göre elde edeceği domates miktarını (y) verir.
Örnek 2:
Bir inşaat firması, yeni bir binanın maliyetini hesaplamak için bir model geliştiriyor. Binanın temel maliyeti 500.000 TL'dir. Her bir metrekare inşaat alanı için ek olarak 2.000 TL maliyet oluşmaktadır.
İnşaat alanının metrekare (x) cinsinden verildiği durumda, toplam inşaat maliyetini (y) gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 150 metrekarelik bir bina için toplam maliyeti hesaplayınız.
Çözüm:
Toplam maliyeti, inşaat alanı metrekare cinsinden veren bir doğrusal fonksiyon ile ifade edebiliriz.
- Adım 1: Fonksiyonun Yapısını Belirleme
Doğrusal fonksiyon \( y = mx + c \) şeklindedir. Burada: - \( y \): Toplam inşaat maliyeti (TL) - \( x \): İnşaat alanı (metrekare) - \( m \): Metrekare başına ek maliyet (eğim) - \( c \): Temel maliyet (y-keseni) - Adım 2: Fonksiyonun Parametrelerini Belirleme
- Temel maliyet 500.000 TL olduğundan, \( c = 500.000 \). - Her metrekare için ek maliyet 2.000 TL olduğundan, \( m = 2.000 \). - Adım 3: Doğrusal Fonksiyonu Yazma
Bu değerleri fonksiyonda yerine koyarsak: \( y = 2000x + 500.000 \) - Adım 4: 150 Metrekarelik Bina İçin Maliyeti Hesaplama
\( x = 150 \) metrekare için maliyeti bulmak üzere, fonksiyonda x yerine 150 yazarız: \( y = 2000 \times 150 + 500.000 \) \( y = 300.000 + 500.000 \) \( y = 800.000 \) TL
Örnek 3:
Bir spor mağazası, belirli bir modeldeki spor ayakkabısının satış fiyatını belirlemek istiyor. Ayakkabının üretim maliyeti 150 TL'dir. Mağaza, ayakkabı başına %40 karla satış yapmayı planlamaktadır.
Bu spor ayakkabısının satış fiyatını (y) veren fonksiyonu bulunuz. Satış fiyatı TL cinsinden olacaktır.
Çözüm:
Burada kar oranı, üretim maliyetine eklenen bir yüzdedir. Bu durumu bir doğrusal fonksiyon ile ifade edebiliriz.
- Adım 1: Kar Miktarını Hesaplama
Kar, üretim maliyetinin %40'ıdır. Kar Miktarı = \( 150 \times \frac{40}{100} \) Kar Miktarı = \( 150 \times 0.40 \) Kar Miktarı = 60 TL - Adım 2: Satış Fiyatını Belirleme
Satış Fiyatı = Üretim Maliyeti + Kar Miktarı Satış Fiyatı = \( 150 + 60 \) Satış Fiyatı = 210 TL - Adım 3: Fonksiyonu Yazma (Genel Durum)
Eğer üretim maliyeti \( x \) TL olsaydı ve kar oranı %40 olsaydı, satış fiyatı \( y \) şu şekilde olurdu: Kar Miktarı = \( x \times \frac{40}{100} = 0.4x \) Satış Fiyatı \( y \) = \( x + 0.4x \) \( y = 1.4x \) Bu durumda, üretim maliyeti sabit (150 TL) olduğu için, satış fiyatı \( y = 1.4 \times 150 \) şeklinde de hesaplanabilir.
Örnek 4:
Bir hareket sensörlü güvenlik sistemi, bir odadaki hareket algıladığında alarmı tetiklemek için tasarlanmıştır. Sensörün hassasiyeti (x) arttıkça, yanlış alarm verme olasılığının (y) azaldığı gözlemlenmiştir. Bu ilişki karesel bir fonksiyonla ifade edilmektedir.
Sensör hassasiyeti \( x \) olduğunda yanlış alarm verme olasılığı \( y = \frac{1}{100}x^2 - \frac{8}{5}x + 16 \) fonksiyonu ile verilmektedir.
Bu sistemde yanlış alarm verme olasılığının en az olduğu hassasiyet değerini ve bu minimum olasılığı bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde verilen fonksiyon bir karesel fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. Parabolün tepe noktası, minimum veya maksimum değeri verir. Fonksiyonumuz \( y = ax^2 + bx + c \) formundadır, burada \( a = \frac{1}{100} \), \( b = -\frac{8}{5} \) ve \( c = 16 \).
- Adım 1: Parabolün Tepe Noktasını Bulma
Karesel bir fonksiyonda tepe noktasının x-koordinatı \( x_t = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. \( x_t = -\frac{-\frac{8}{5}}{2 \times \frac{1}{100}} \) \( x_t = -\frac{-\frac{8}{5}}{\frac{2}{100}} \) \( x_t = \frac{\frac{8}{5}}{\frac{1}{50}} \) \( x_t = \frac{8}{5} \times 50 \) \( x_t = 8 \times 10 \) \( x_t = 80 \) Bu, yanlış alarm verme olasılığının en az olduğu sensör hassasiyeti değeridir. - Adım 2: Minimum Olasılık Değerini Hesaplama
Minimum olasılık değerini bulmak için, tepe noktasının x-koordinatını (80) fonksiyonda yerine koyarız. Bu, tepe noktasının y-koordinatını verir. \( y_{min} = \frac{1}{100}(80)^2 - \frac{8}{5}(80) + 16 \) \( y_{min} = \frac{1}{100}(6400) - \frac{640}{5} + 16 \) \( y_{min} = 64 - 128 + 16 \) \( y_{min} = 80 - 128 \) \( y_{min} = -48 \) Ancak olasılık negatif olamaz. Fonksiyonda bir hata veya problem tanımında bir eksiklik olabilir. Eğer fonksiyon \( y = \frac{1}{100}x^2 - \frac{8}{5}x + 64 \) olsaydı, \( y_{min} = 0 \) olurdu. Varsayımsal olarak, fonksiyonun doğru olduğunu kabul edersek ve negatif sonuç bir modelleme hatasıysa, hesaplanan x değeri hassasiyetin en uygun olduğu noktayı gösterir. Eğer fonksiyon \( y = \frac{1}{100}x^2 - \frac{8}{5}x + 64 \) ise: \( y_{min} = \frac{1}{100}(80)^2 - \frac{8}{5}(80) + 64 \) \( y_{min} = 64 - 128 + 64 = 0 \) Bu durumda, en az yanlış alarm verme olasılığı 0'dır ve bu 80 hassasiyet değerinde gerçekleşir.
Örnek 5:
Bir teknoloji şirketi, yeni ürettiği bir akıllı telefonun batarya ömrünü (y saat) işlemci hızına (x GHz) bağlı olarak modellemektedir. Bu ilişkiyi \( y = -0.5x^2 + 4x + 2 \) şeklinde bir karesel fonksiyonla ifade etmişlerdir.
Bu modellemeye göre, telefonun batarya ömrünün en uzun olduğu işlemci hızı kaç GHz'dir ve bu hızda batarya ömrü kaç saat olur?
Çözüm:
Batarya ömrünü veren fonksiyon karesel bir fonksiyondur ve grafiği aşağı doğru açılan bir paraboldür (çünkü \( x^2 \)'nin katsayısı negatiftir). Bu nedenle, bu parabolün tepe noktası maksimum batarya ömrünü verecektir.
- Adım 1: Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulma
Fonksiyon \( y = ax^2 + bx + c \) formundadır, burada \( a = -0.5 \), \( b = 4 \) ve \( c = 2 \). Tepe noktasının x-koordinatı (işlemci hızı) \( x_t = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. \( x_t = -\frac{4}{2 \times (-0.5)} \) \( x_t = -\frac{4}{-1} \) \( x_t = 4 \) GHz Yani, batarya ömrünün en uzun olduğu işlemci hızı 4 GHz'dir. - Adım 2: Maksimum Batarya Ömrünü Hesaplama
En uzun batarya ömrünü bulmak için, tepe noktasının x-koordinatını (4) fonksiyonda yerine koyarız. Bu, tepe noktasının y-koordinatını (batarya ömrü) verecektir. \( y_{max} = -0.5(4)^2 + 4(4) + 2 \) \( y_{max} = -0.5(16) + 16 + 2 \) \( y_{max} = -8 + 16 + 2 \) \( y_{max} = 8 + 2 \) \( y_{max} = 10 \) saat
Örnek 6:
Bir su deposuna sabit bir hızla su doldurulmaktadır. Deponun içindeki su miktarının zamana göre değişimi inceleniyor. Başlangıçta depoda 50 litre su bulunmaktadır. Her dakika 10 litre su eklenmektedir.
Depodaki su miktarını (y litre) gösteren doğrusal fonksiyonu zamana (x dakika) göre yazınız ve 5 dakika sonra depoda kaç litre su olacağını hesaplayınız.
Çözüm:
Bu durum, sabit bir başlangıç miktarına sabit bir hızla eklenen bir miktarı ifade ettiği için doğrusal bir fonksiyonla modellenebilir.
- Adım 1: Fonksiyonun Genel Formunu Belirleme
Doğrusal fonksiyonun genel formu \( y = mx + c \) şeklindedir. - \( y \): Depodaki su miktarı (litre) - \( x \): Geçen süre (dakika) - \( m \): Dakikada eklenen su miktarı (eğim) - \( c \): Başlangıçtaki su miktarı (y-keseni) - Adım 2: Fonksiyonun Parametrelerini Belirleme
- Başlangıçta depoda 50 litre su olduğundan, \( c = 50 \). - Her dakika 10 litre su eklendiğinden, \( m = 10 \). - Adım 3: Doğrusal Fonksiyonu Yazma
Bu değerleri fonksiyonda yerine koyarsak: \( y = 10x + 50 \) - Adım 4: 5 Dakika Sonraki Su Miktarını Hesaplama
\( x = 5 \) dakika için depodaki su miktarını bulmak üzere, fonksiyonda x yerine 5 yazarız: \( y = 10 \times 5 + 50 \) \( y = 50 + 50 \) \( y = 100 \) litre
Örnek 7:
Bir maden ocağından çıkarılan cevherin saflığı (y) ile ilgili yapılan analizlerde, çıkarılan cevher miktarı (x ton) arttıkça saflığın azaldığı gözlemlenmiştir. Bu ilişki bir rasyonel fonksiyonla ifade edilmektedir: \( y = \frac{200}{x+10} \).
Bu rasyonel fonksiyona göre, çıkarılan cevher miktarı çok büyük olduğunda cevherin saflığı hangi değere yaklaşır? Ayrıca, 10 ton cevher çıkarıldığında saflık yüzdesi kaç olur?
Çözüm:
Bu problemde verilen fonksiyon bir rasyonel fonksiyondur. Rasyonel fonksiyonlar, pay ve paydanın polinom olduğu fonksiyonlardır.
- Adım 1: Cevher Miktarı Çok Büyük Olduğunda Saflığın Yaklaştığı Değeri Bulma
Çıkarılan cevher miktarı (x) çok büyük olduğunda, \( x+10 \) ifadesi de çok büyük olacaktır. Bir sayıyı çok büyük bir sayıya böldüğümüzde sonuç sıfıra yaklaşır. Limit kavramına göre, \( x \to \infty \) iken \( \frac{200}{x+10} \to 0 \) olur. Dolayısıyla, çıkarılan cevher miktarı çok büyük olduğunda cevherin saflığı 0'a yaklaşır. - Adım 2: 10 Ton Cevher Çıkarıldığında Saflığı Hesaplama
\( x = 10 \) ton cevher çıkarıldığında saflığı bulmak için fonksiyonda x yerine 10 yazarız: \( y = \frac{200}{10+10} \) \( y = \frac{200}{20} \) \( y = 10 \) Bu değer, cevherin saflığının 10 birim olduğunu gösterir. Eğer saflık yüzdesel olarak ifade ediliyorsa, bu değer 10% anlamına gelir.
Örnek 8:
Bir bisikletli, sabit bir hızla A noktasından B noktasına doğru hareket etmektedir. A noktasından hareket ettikten sonra geçen süre (t saniye) ve bisikletlinin A noktasına olan uzaklığı (x metre) arasındaki ilişkiyi \( x = 5t \) şeklinde bir doğrusal fonksiyon ile ifade edebiliriz.
Bu bisikletli 600 metre uzaklıktaki B noktasına kaç saniyede ulaşır?
Çözüm:
Bu problemde, bisikletlinin aldığı yol (x) geçen süreye (t) bağlı doğrusal bir fonksiyon ile verilmiştir.
- Adım 1: Verilen Fonksiyonu Anlama
Fonksiyon \( x = 5t \) şeklindedir. Bu, bisikletlinin hızının saniyede 5 metre olduğunu gösterir (yani, her saniye 5 metre yol almaktadır). - \( x \): A noktasına olan uzaklık (metre) - \( t \): Geçen süre (saniye) - 5: Hız (metre/saniye) - Adım 2: Hedeflenen Uzaklığı Belirleme
Bisikletlinin ulaşması gereken B noktası, A noktasına 600 metre uzaklıktadır. Yani, \( x = 600 \) metre olmalıdır. - Adım 3: Süreyi Hesaplama
Fonksiyonda \( x \) yerine 600 yazarak \( t \) değerini bulabiliriz: \( 600 = 5t \) \( t = \frac{600}{5} \) \( t = 120 \) saniye
Örnek 9:
Bir akvaryumdaki balık sayısı (y), akvaryumun hacmi (x litre) ile doğru orantılıdır. Başlangıçta 50 litrelik bir akvaryumda 10 balık bulunmaktadır.
Bu ilişkiyi gösteren doğrusal fonksiyonu bulunuz ve 150 litrelik bir akvaryumda kaç balık olacağını tahmin ediniz.
Çözüm:
Bu durum, başlangıçta bir miktar balık olduğu ve hacim arttıkça balık sayısının da arttığı bir doğrusal ilişkiyi ifade eder. Ancak, soruda "doğru orantılıdır" ifadesi kullanıldığı için, bu durumun \( y = kx \) şeklinde bir doğru orantı olabileceği düşünülebilir. Ancak, başlangıçta 50 litrelik akvaryumda 10 balık varsa ve hacim 0 iken balık sayısı 0 olmuyorsa, bu tam bir doğru orantı değil, doğrusal bir fonksiyondur. Soruyu, "balık sayısı hacimle doğrusal bir ilişki içindedir" şeklinde yorumlayalım.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Belirleme
- Akvaryum hacmi (x) ve balık sayısı (y) arasında doğrusal bir ilişki var. - 50 litre hacimde 10 balık var. Bu, \( (50, 10) \) noktasıdır. - Eğer akvaryumun hacmi 0 olsaydı balık sayısı 0 olsaydı, bu doğru orantı olurdu. Ancak başlangıçta 50 litrede 10 balık varsa, bu tam bir doğru orantı değildir. - Soruyu "doğrusal fonksiyon" olarak ele alalım. Eğer hacim artışı ile balık sayısı artışı orantılı ise, bu \( y = mx \) gibi bir doğru orantıdan ziyade, belirli bir başlangıç noktası olan bir doğrusal ilişkiyi ifade eder. - Eğer "doğru orantılıdır" ifadesi, hacimdeki her birim artışın balık sayısında sabit bir artışa neden olduğu anlamına geliyorsa, bu \( y = mx \) şeklinde bir doğru orantı değildir. - Soruyu "50 litrede 10 balık varsa, hacimle balık sayısı doğrusal bir ilişki içindedir" şeklinde yorumlayalım. Eğer hacim 0 olsaydı balık sayısı 0 olurdu varsayımıyla devam edersek: \( y = kx \) \( 10 = k \times 50 \) \( k = \frac{10}{50} = \frac{1}{5} \) Fonksiyon: \( y = \frac{1}{5}x \) - Adım 2: 150 Litrelik Akvaryum İçin Balık Sayısını Tahmin Etme
\( x = 150 \) litre için: \( y = \frac{1}{5} \times 150 \) \( y = 30 \) balık
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dogrusal-karesel-karekok-ve-rasyonel-fonksiyonlar-ile-ifade-edilen-problemler/sorular