Doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar ile ifade edilen problemler Ders Notu
Doğrusal, Karesel, Karekök ve Rasyonel Fonksiyonlar ile İfade Edilen Problemler 📝
Bu bölümde, günlük hayatımızda karşılaştığımız çeşitli problemleri doğrusal, karesel, karekök ve rasyonel fonksiyonlar kullanarak nasıl modelleyebileceğimizi ve çözebileceğimizi öğreneceğiz. Fonksiyonlar, değişkenler arasındaki ilişkiyi matematiksel bir dille ifade etmemizi sağlayan güçlü araçlardır.
1. Doğrusal Fonksiyonlar ile İfade Edilen Problemler 📈
Doğrusal fonksiyonlar, sabit bir değişim oranına sahip durumları modeller. Genel formları \( f(x) = ax + b \) şeklindedir. Burada \( a \) eğimi (değişim oranını) ve \( b \) ise başlangıç değerini temsil eder.
Örnek 1: Bir taksinin açılış ücreti 10 TL'dir ve kilometre başına 5 TL ek ücret alınmaktadır. Buna göre, gidilen mesafeye göre ödenecek toplam ücreti gösteren doğrusal fonksiyonu yazınız ve 15 km yol gidildiğinde ödenecek ücreti hesaplayınız.
*
Çözüm:
Gidilen mesafe \( x \) km olsun.
Kilometre başına ücret \( 5x \) TL olur.
Açılış ücreti 10 TL olduğundan, toplam ücreti veren fonksiyon:
\( F(x) = 5x + 10 \)
15 km yol gidildiğinde ödenecek ücret:
\( F(15) = 5 \times 15 + 10 = 75 + 10 = 85 \) TL'dir.
2. Karesel Fonksiyonlar ile İfade Edilen Problemler 📐
Karesel fonksiyonlar, değişim oranının sabit olmadığı ancak ikinci dereceden bir ilişki olduğu durumları modeller. Genel formları \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Genellikle alan, eğik atış hareketi gibi problemler bu fonksiyonlarla ifade edilir.
Örnek 2: Bir çiftçi, elindeki 40 metre çitle dikdörtgen şeklinde bir alan çevirecektir. Bu alanın maksimum olabilmesi için kenar uzunlukları ne olmalıdır?
*
Çözüm:
Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( x \) ve \( y \) olsun.
Çevre \( 2x + 2y = 40 \) olduğundan, \( x + y = 20 \) yani \( y = 20 - x \) olur.
Alanı veren fonksiyon \( A(x) = x \times y = x(20 - x) = 20x - x^2 \) olur.
Bu bir karesel fonksiyondur. Maksimum alanı bulmak için tepe noktasını kullanırız.
Tepe noktasının apsisi \( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-1)} = 10 \) olur.
Kenar uzunlukları 10 metre olduğunda alan maksimum olur. Bu durumda alan \( 10 \times (20-10) = 10 \times 10 = 100 \) metrekare olur.
3. Karekök Fonksiyonlar ile İfade Edilen Problemler 📏
Karekök fonksiyonlar, bir büyüklüğün başka bir büyüklüğün karekökü ile orantılı olduğu durumları modeller. Genel formları \( f(x) = a\sqrt{x} + b \) veya \( f(x) = \sqrt{ax+b} \) şeklinde olabilir.
Örnek 3: Bir nesnenin yere düşme süresi, düştüğü yüksekliğin karekökü ile doğru orantılıdır. Yüksekliği 5 metre olan bir nesnenin yere düşme süresi 1 saniye ise, 20 metre yükseklikten düşen bir nesnenin yere düşme süresi ne kadar olur?
*
Çözüm:
Düşme süresi \( t \), yükseklik \( h \) olsun.
\( t = k\sqrt{h} \) şeklinde bir ilişki vardır.
İlk durum için: \( 1 = k\sqrt{5} \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{5}} \)
İkinci durum için: \( t = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{20} = \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2 \) saniye olur.
4. Rasyonel Fonksiyonlar ile İfade Edilen Problemler ➗
Rasyonel fonksiyonlar, iki polinomun oranı şeklinde olup, genellikle verimlilik, hız, oran-orantı gibi durumlarda kullanılır. Genel formları \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklindedir.
Örnek 4: Bir işi Ayşe tek başına 6 günde, Ali ise tek başına 3 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte çalışırlarsa işin ne kadar sürede biteceğini hesaplayınız.
*
Çözüm:
Ayşe'nin 1 günde yaptığı iş \( \frac{1}{6} \) olur.
Ali'nin 1 günde yaptığı iş \( \frac{1}{3} \) olur.
İkisi birlikte 1 günde \( \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) iş yaparlar.
İşin tamamını (1 birim iş) bitirme süresi \( t \) olsun.
\( \frac{1}{2} \times t = 1 \Rightarrow t = 2 \) gün olur.
Bu problem, dolaylı olarak rasyonel fonksiyonlarla ilgilidir çünkü işçi problemlerinde bireysel verimliliklerin toplamı, toplam verimliliği verir ve bu da bir rasyonel ifadeye götürür.