🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dış Açı Ortay Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dış Açı Ortay Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A köşesindeki dış açıortay, BC kenarının uzantısını D noktasında kesmektedir. 📐
Verilenler:
* AB kenarının uzunluğu \( |AB| = 6 \) birimdir.
* AC kenarının uzunluğu \( |AC| = 4 \) birimdir.
* CD kenarının uzunluğu \( |CD| = 8 \) birimdir.
Buna göre, BC kenarının uzunluğu \( |BC| \) kaç birimdir? 🤔
Verilenler:
* AB kenarının uzunluğu \( |AB| = 6 \) birimdir.
* AC kenarının uzunluğu \( |AC| = 4 \) birimdir.
* CD kenarının uzunluğu \( |CD| = 8 \) birimdir.
Buna göre, BC kenarının uzunluğu \( |BC| \) kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
Dış Açı Ortay Teoremi'ni kullanarak soruyu adım adım çözelim:
- 📌 Teoremi Hatırlayalım: Bir üçgende dış açıortay, karşı kenarın uzantısını kestiği noktada, diğer iki kenarın oranına eşit bir oran oluşturur. Yani, ABC üçgeninde A köşesinden çıkan dış açıortay BC uzantısını D'de kesiyorsa: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: Soruda verilen değerleri formülde yerine koyalım. * \( |AB| = 6 \) * \( |AC| = 4 \) * \( |CD| = 8 \) * \( |BD| \) uzunluğunu bulmak için \( |BC| + |CD| \) ifadesini kullanabiliriz, çünkü D noktası BC'nin uzantısı üzerindedir ve C, B ile D arasındadır. Dolayısıyla \( |BD| = |BC| + |CD| \).
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{6}{4} = \frac{|BC| + 8}{8} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{3}{2} = \frac{|BC| + 8}{8} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times 8 = 2 \times (|BC| + 8) \] \[ 24 = 2|BC| + 16 \] \( 16 \) sayısını eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 24 - 16 = 2|BC| \] \[ 8 = 2|BC| \] Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ |BC| = \frac{8}{2} \] \[ |BC| = 4 \]
- ✅ Sonuç: BC kenarının uzunluğu 4 birimdir.
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde, K köşesindeki dış açıortay, LM kenarının uzantısını N noktasında kesmektedir. 📏
* \( |KL| = 10 \) birim
* \( |KM| = 6 \) birim
* \( |LN| = x + 12 \) birim
* \( |MN| = x \) birim
Buna göre, \( x \) değeri kaçtır? 🧐
* \( |KL| = 10 \) birim
* \( |KM| = 6 \) birim
* \( |LN| = x + 12 \) birim
* \( |MN| = x \) birim
Buna göre, \( x \) değeri kaçtır? 🧐
Çözüm:
Dış Açı Ortay Teoremi'ni kullanarak \( x \) değerini bulalım:
- 📌 Teoremi Uygulayalım: K köşesinden çıkan dış açıortay LM uzantısını N'de kestiğine göre: \[ \frac{|KL|}{|KM|} = \frac{|LN|}{|MN|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |KL| = 10 \) * \( |KM| = 6 \) * \( |LN| = x + 12 \) * \( |MN| = x \)
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{10}{6} = \frac{x + 12}{x} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{5}{3} = \frac{x + 12}{x} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 5 \times x = 3 \times (x + 12) \] \[ 5x = 3x + 36 \] \( 3x \) terimini eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 5x - 3x = 36 \] \[ 2x = 36 \] Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ x = \frac{36}{2} \] \[ x = 18 \]
- ✅ Sonuç: \( x \) değeri 18'dir.
Örnek 3:
Bir DEF üçgeninde, E köşesinin dış açıortayı, DF kenarının uzantısını G noktasında kesmektedir. 📐
* \( |ED| = 8 \) birim
* \( |EF| = 6 \) birim
* \( |FG| = 9 \) birim
Buna göre, \( |DG| \) uzunluğu kaç birimdir? 🧩
* \( |ED| = 8 \) birim
* \( |EF| = 6 \) birim
* \( |FG| = 9 \) birim
Buna göre, \( |DG| \) uzunluğu kaç birimdir? 🧩
Çözüm:
Dış Açı Ortay Teoremi'ni kullanarak \( |DG| \) uzunluğunu bulalım:
- 📌 Teoremi Uygulayalım: E köşesinden çıkan dış açıortay DF uzantısını G'de kestiğine göre: \[ \frac{|ED|}{|EF|} = \frac{|DG|}{|FG|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |ED| = 8 \) * \( |EF| = 6 \) * \( |FG| = 9 \) * \( |DG| \) uzunluğunu arıyoruz.
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{8}{6} = \frac{|DG|}{9} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{4}{3} = \frac{|DG|}{9} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 4 \times 9 = 3 \times |DG| \] \[ 36 = 3|DG| \] Her iki tarafı \( 3 \)e bölelim: \[ |DG| = \frac{36}{3} \] \[ |DG| = 12 \]
- ✅ Sonuç: \( |DG| \) uzunluğu 12 birimdir.
Örnek 4:
Bir PQR üçgeninde, P köşesindeki dış açıortay, QR kenarının uzantısını S noktasında kesmektedir. 🧐
* \( |PQ| = 12 \) birim
* \( |PR| = 8 \) birim
* \( |QR| = 5 \) birim
Buna göre, \( |RS| \) uzunluğu kaç birimdir? 🤔
* \( |PQ| = 12 \) birim
* \( |PR| = 8 \) birim
* \( |QR| = 5 \) birim
Buna göre, \( |RS| \) uzunluğu kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
Bu soruda Dış Açı Ortay Teoremi'ni uygulayabilmek için \( |QS| \) uzunluğunu \( |QR| + |RS| \) şeklinde ifade etmemiz gerekecek.
- 📌 Teoremi Uygulayalım: P köşesinden çıkan dış açıortay QR uzantısını S'de kestiğine göre: \[ \frac{|PQ|}{|PR|} = \frac{|QS|}{|RS|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |PQ| = 12 \) * \( |PR| = 8 \) * \( |QR| = 5 \) * \( |RS| \) uzunluğunu arıyoruz. \( |QS| \) yerine \( |QR| + |RS| \) yazabiliriz. Yani \( |QS| = 5 + |RS| \).
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{12}{8} = \frac{5 + |RS|}{|RS|} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{3}{2} = \frac{5 + |RS|}{|RS|} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times |RS| = 2 \times (5 + |RS|) \] \[ 3|RS| = 10 + 2|RS| \] \( 2|RS| \) terimini eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 3|RS| - 2|RS| = 10 \] \[ |RS| = 10 \]
- ✅ Sonuç: \( |RS| \) uzunluğu 10 birimdir.
Örnek 5:
Ahmet, bir harita üzerinde A, B ve C şehirlerinin konumlarını gösteren bir üçgen çiziyor. 🗺️ A noktasından geçen bir yol, BC yolunun uzantısı üzerinde D noktasında sona eriyor. Bu AD yolu, A köşesindeki dış açıyı iki eşit parçaya ayırmaktadır. 🛣️
* A şehrinden B şehrine olan mesafe \( |AB| = 15 \) km'dir.
* A şehrinden C şehrine olan mesafe \( |AC| = 9 \) km'dir.
* B şehrinden C şehrine olan mesafe \( |BC| = 10 \) km'dir.
Buna göre, C şehrinden D noktasına olan mesafe \( |CD| \) kaç km'dir? 📍
* A şehrinden B şehrine olan mesafe \( |AB| = 15 \) km'dir.
* A şehrinden C şehrine olan mesafe \( |AC| = 9 \) km'dir.
* B şehrinden C şehrine olan mesafe \( |BC| = 10 \) km'dir.
Buna göre, C şehrinden D noktasına olan mesafe \( |CD| \) kaç km'dir? 📍
Çözüm:
Bu senaryo, Dış Açı Ortay Teoremi'nin doğrudan bir uygulamasıdır. AD yolu, A köşesinin dış açıortayıdır.
- 📌 Teoremi Formüle Edelim: Dış açıortay teoremine göre: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |AB| = 15 \) km * \( |AC| = 9 \) km * \( |BC| = 10 \) km * \( |CD| \) uzunluğunu arıyoruz. * D noktası BC'nin uzantısı üzerinde olduğu için \( |BD| = |BC| + |CD| \). Yani \( |BD| = 10 + |CD| \).
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{15}{9} = \frac{10 + |CD|}{|CD|} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{5}{3} = \frac{10 + |CD|}{|CD|} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 5 \times |CD| = 3 \times (10 + |CD|) \] \[ 5|CD| = 30 + 3|CD| \] \( 3|CD| \) terimini eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 5|CD| - 3|CD| = 30 \] \[ 2|CD| = 30 \] Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ |CD| = \frac{30}{2} \] \[ |CD| = 15 \]
- ✅ Sonuç: C şehrinden D noktasına olan mesafe 15 km'dir.
Örnek 6:
Bir mühendis, bir arazi üzerine üçgen şeklinde bir park (ABC) tasarlıyor. 🌳 Parkın A köşesinden geçen bir yürüyüş yolu, BC kenarının uzantısı üzerindeki bir reklam panosuna (D noktası) kadar uzanıyor. Bu yürüyüş yolu, A köşesindeki dış açıyı ortalamaktadır. 🚶♀️
* AB kenarının uzunluğu \( |AB| = 18 \) metre.
* AC kenarının uzunluğu \( |AC| = 12 \) metre.
* Reklam panosu D noktasının B köşesine olan uzaklığı \( |BD| = 30 \) metredir.
Buna göre, parkın BC kenarının uzunluğu \( |BC| \) kaç metredir? 🚧
* AB kenarının uzunluğu \( |AB| = 18 \) metre.
* AC kenarının uzunluğu \( |AC| = 12 \) metre.
* Reklam panosu D noktasının B köşesine olan uzaklığı \( |BD| = 30 \) metredir.
Buna göre, parkın BC kenarının uzunluğu \( |BC| \) kaç metredir? 🚧
Çözüm:
Yürüyüş yolu dış açıortay olduğuna göre, Dış Açı Ortay Teoremi'ni kullanacağız.
- 📌 Teoremi Uygulayalım: A köşesinden çıkan dış açıortay BC uzantısını D'de kestiğine göre: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |AB| = 18 \) * \( |AC| = 12 \) * \( |BD| = 30 \) * \( |BC| \) uzunluğunu arıyoruz. * D noktası BC'nin uzantısı üzerinde olduğu için \( |BD| = |BC| + |CD| \). Yani \( 30 = |BC| + |CD| \). Buradan \( |CD| = 30 - |BC| \) elde ederiz.
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{18}{12} = \frac{30}{30 - |BC|} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{3}{2} = \frac{30}{30 - |BC|} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times (30 - |BC|) = 2 \times 30 \] \[ 90 - 3|BC| = 60 \] \( 3|BC| \) terimini sağa, \( 60 \) terimini sola atalım: \[ 90 - 60 = 3|BC| \] \[ 30 = 3|BC| \] Her iki tarafı \( 3 \)e bölelim: \[ |BC| = \frac{30}{3} \] \[ |BC| = 10 \]
- ✅ Sonuç: Parkın BC kenarının uzunluğu 10 metredir.
Örnek 7:
Bir çiftçi, tarlasının (ABC üçgeni şeklinde) A köşesine yeni bir sulama kanalı (AD) inşa etmek istiyor. 🚜 Bu kanal, tarlanın B ve C köşelerinden geçen sınırın uzantısı üzerindeki D noktasına kadar gidecek. Çiftçi, kanalın A köşesindeki dış açıyı ortalamasını istiyor. 🌾
* AB kenarı boyunca uzanan tarlanın kenarı \( |AB| = 240 \) metre.
* AC kenarı boyunca uzanan tarlanın kenarı \( |AC| = 160 \) metre.
* BC kenarı boyunca uzanan tarlanın kenarı \( |BC| = 100 \) metre.
Buna göre, C noktasından D noktasına olan uzaklık \( |CD| \) kaç metredir? Bu uzaklık, yeni sulama kanalının uzantısının ne kadar daha ilerlemesi gerektiğini gösterir. 💧
* AB kenarı boyunca uzanan tarlanın kenarı \( |AB| = 240 \) metre.
* AC kenarı boyunca uzanan tarlanın kenarı \( |AC| = 160 \) metre.
* BC kenarı boyunca uzanan tarlanın kenarı \( |BC| = 100 \) metre.
Buna göre, C noktasından D noktasına olan uzaklık \( |CD| \) kaç metredir? Bu uzaklık, yeni sulama kanalının uzantısının ne kadar daha ilerlemesi gerektiğini gösterir. 💧
Çözüm:
Sulama kanalı (AD), A köşesinin dış açıortayı görevini görmektedir. Dış Açı Ortay Teoremi'ni kullanarak \( |CD| \) uzunluğunu bulalım.
- 📌 Teoremi Uygulayalım: A köşesinden çıkan dış açıortay BC uzantısını D'de kestiğine göre: \[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |AB| = 240 \) metre * \( |AC| = 160 \) metre * \( |BC| = 100 \) metre * \( |CD| \) uzunluğunu arıyoruz. * D noktası BC'nin uzantısı üzerinde olduğu için \( |BD| = |BC| + |CD| \). Yani \( |BD| = 100 + |CD| \).
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{240}{160} = \frac{100 + |CD|}{|CD|} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim. Her iki tarafı \( 80 \)e bölebiliriz: \[ \frac{3}{2} = \frac{100 + |CD|}{|CD|} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times |CD| = 2 \times (100 + |CD|) \] \[ 3|CD| = 200 + 2|CD| \] \( 2|CD| \) terimini eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 3|CD| - 2|CD| = 200 \] \[ |CD| = 200 \]
- ✅ Sonuç: C noktasından D noktasına olan uzaklık 200 metredir. Çiftçi, mevcut BC sınırından 200 metre daha ilerlemesi gerektiğini bilmelidir.
Örnek 8:
Bir üçgenin köşeleri K, L, M olarak belirlenmiştir. K noktasından çıkan dış açıortay, LM kenarının uzantısını N noktasında kesmektedir. 📐 Ek olarak, K noktasından LM kenarına indirilen dikme H noktasında kesişmektedir.
* \( |KL| = 10 \) birim
* \( |KM| = 8 \) birim
* \( |MN| = 16 \) birim
Buna göre, \( |LM| \) uzunluğu kaç birimdir? 🧩
* \( |KL| = 10 \) birim
* \( |KM| = 8 \) birim
* \( |MN| = 16 \) birim
Buna göre, \( |LM| \) uzunluğu kaç birimdir? 🧩
Çözüm:
Bu problemde dikme bilgisi verilmiş olsa da, doğrudan Dış Açı Ortay Teoremi ile çözülebilecek bir yapıdadır. Dikme bilgisi yanıltıcı olabilir veya farklı bir problemde kullanılabilir, ancak bu soruda sadece Dış Açı Ortay Teoremi yeterlidir.
- 📌 Teoremi Uygulayalım: K köşesinden çıkan dış açıortay LM uzantısını N'de kestiğine göre: \[ \frac{|KL|}{|KM|} = \frac{|LN|}{|MN|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |KL| = 10 \) * \( |KM| = 8 \) * \( |MN| = 16 \) * \( |LM| \) uzunluğunu arıyoruz. * N noktası LM'nin uzantısı üzerinde olduğu için \( |LN| = |LM| + |MN| \). Yani \( |LN| = |LM| + 16 \).
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{10}{8} = \frac{|LM| + 16}{16} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{5}{4} = \frac{|LM| + 16}{16} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 5 \times 16 = 4 \times (|LM| + 16) \] \[ 80 = 4|LM| + 64 \] \( 64 \) terimini eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 80 - 64 = 4|LM| \] \[ 16 = 4|LM| \] Her iki tarafı \( 4 \)e bölelim: \[ |LM| = \frac{16}{4} \] \[ |LM| = 4 \]
- ✅ Sonuç: \( |LM| \) uzunluğu 4 birimdir.
Örnek 9:
Bir XYZ üçgeninde, X köşesindeki dış açıortay, YZ kenarının uzantısını T noktasında kesmektedir. 📏
* \( |XY| = 9 \) birim
* \( |XZ| = 6 \) birim
* \( |YZ| = 5 \) birim
Buna göre, \( |ZT| \) uzunluğu kaç birimdir? 🤔
* \( |XY| = 9 \) birim
* \( |XZ| = 6 \) birim
* \( |YZ| = 5 \) birim
Buna göre, \( |ZT| \) uzunluğu kaç birimdir? 🤔
Çözüm:
Dış Açı Ortay Teoremi'ni kullanarak \( |ZT| \) uzunluğunu bulalım:
- 📌 Teoremi Uygulayalım: X köşesinden çıkan dış açıortay YZ uzantısını T'de kestiğine göre: \[ \frac{|XY|}{|XZ|} = \frac{|YT|}{|ZT|} \]
- 🔢 Verilenleri Yerine Yazalım: * \( |XY| = 9 \) * \( |XZ| = 6 \) * \( |YZ| = 5 \) * \( |ZT| \) uzunluğunu arıyoruz. * T noktası YZ'nin uzantısı üzerinde olduğu için \( |YT| = |YZ| + |ZT| \). Yani \( |YT| = 5 + |ZT| \).
- ✍️ Denklemi Kuralım: \[ \frac{9}{6} = \frac{5 + |ZT|}{|ZT|} \]
- 🔨 Denklemi Çözelim: Önce oranı sadeleştirelim: \[ \frac{3}{2} = \frac{5 + |ZT|}{|ZT|} \] İçler dışlar çarpımı yapalım: \[ 3 \times |ZT| = 2 \times (5 + |ZT|) \] \[ 3|ZT| = 10 + 2|ZT| \] \( 2|ZT| \) terimini eşitliğin sol tarafına atalım: \[ 3|ZT| - 2|ZT| = 10 \] \[ |ZT| = 10 \]
- ✅ Sonuç: \( |ZT| \) uzunluğu 10 birimdir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dis-aci-ortay/sorular