Dış Açı Ortay Ders Notu

Bir üçgende, bir köşeye ait dış açının açıortayı, üçgenin kenar uzunlukları arasında belirli bir oran bağıntısı kurar. Bu konuya Dış Açı Ortay Teoremi denir ve geometri problemlerinde sıkça kullanılır.

Dış Açı Ortay Nedir? 🤔

Bir üçgende, herhangi bir köşedeki iç açının bütünleyeni olan açıya dış açı denir. Bu dış açıyı iki eş parçaya ayıran ışına ise dış açıortay denir.

• Bir ABC üçgeninde, A köşesindeki dış açı, BC kenarının uzantısı ile AB veya AC kenarlarından birinin arasındaki açıdır.
• Bu dış açıyı ikiye bölen doğru parçası veya ışın, dış açıortaydır.
• Dış açıortay genellikle üçgenin bir kenarının uzantısıyla kesişir.

Dış Açı Ortay Teoremi 📐

Bir ABC üçgeninde, A köşesine ait dış açıortay, BC kenarının uzantısını D noktasında kessin. Bu durumda, D noktasının B ve C köşelerine olan uzaklıklarının oranı, AB ve AC kenarlarının uzunlukları oranına eşittir.

Bir ABC üçgeninde, A köşesindeki dış açıortay, BC kenarının uzantısını D noktasında kestiğinde; AB kenarının AC kenarına oranı, BD uzunluğunun CD uzunluğuna oranına eşittir.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \]

Veya kenar uzunluklarını \(c = |AB|\), \(b = |AC|\), \(x = |BD|\), \(y = |CD|\) ile gösterirsek:

\[ \frac{c}{b} = \frac{x}{y} \]

Teoremin Uygulanışı ve Özellikleri ✨

Dış açıortay teoremini kullanırken dikkat edilmesi gereken bazı önemli noktalar:

• Dış açıortay, üçgenin bir kenarının uzantısını keser. Yani D noktası, BC doğru parçasının dışında yer alır.
• Oranlama yaparken, dış açıortayın çıktığı köşeden (örneğin A) diğer iki köşeye (B ve C) olan uzaklıklar ile açıortayın uzantıyı kestiği noktadan (D) B ve C köşelerine olan uzaklıklar kullanılır.
• Teorem, genellikle kenar uzunlukları veya bu uzunluklarla ilgili oranların bulunmasında kullanılır.

Örnek Soru Çözümü ✏️

Bir ABC üçgeninde, AB kenarının uzunluğu 6 cm, AC kenarının uzunluğu 4 cm'dir. A köşesine ait dış açıortay, BC kenarının uzantısını D noktasında kesmektedir. Eğer |CD| = 8 cm ise, |BD| uzunluğu kaç cm'dir?

Çözüm:

Dış Açı Ortay Teoremi'ne göre:

\[ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|CD|} \]

Verilen değerleri yerine yazalım:

• \(|AB| = 6\) cm
• \(|AC| = 4\) cm
• \(|CD| = 8\) cm

Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

\[ \frac{6}{4} = \frac{|BD|}{8} \]

Denklemi sadeleştirelim:

\[ \frac{3}{2} = \frac{|BD|}{8} \]

Şimdi |BD| uzunluğunu bulmak için çapraz çarpım yapalım:

\[ 2 \cdot |BD| = 3 \cdot 8 \] \[ 2 \cdot |BD| = 24 \] \[ |BD| = \frac{24}{2} \] \[ |BD| = 12 \]

Buna göre, |BD| uzunluğu 12 cm'dir.