💡 10. Sınıf Matematik: Dik kordinat sisteminde doğrunun özellikleri ve analitik incelemesi Çözümlü Örnekler

Analitik düzlemde iki noktanın eğimini bulmak için aşağıdaki formül kullanılır:
M = \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarımızdır.
Verilen noktalar: A(2, 3) ve B(5, 9)
\( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \)
\( x_2 = 5 \), \( y_2 = 9 \)
Formülde yerine koyalım:

• M = \( \frac{9 - 3}{5 - 2} \)
• M = \( \frac{6}{3} \)
• M = 2

Sonuç olarak, doğrunun eğimi 2'dir. ✅

Bir doğrunun eğim açısı \( \alpha \) ise, doğrunun eğimi \( m \) bu açının tanjantına eşittir.
m = \( \tan(\alpha) \)
Soruda eğim açısı \( \alpha = 135^\circ \) olarak verilmiş.
m = \( \tan(135^\circ) \)
\( \tan(135^\circ) \) değeri, \( 180^\circ - 45^\circ \) olarak düşünülebilir. Tanjant fonksiyonu ikinci bölgede negatiftir.
m = \( -\tan(45^\circ) \)
\( \tan(45^\circ) = 1 \) olduğundan,
m = -1
Bu doğrunun eğimi -1'dir. 👉

Orijinden geçen doğruların denklemi \( y = mx \) formundadır. Burada \( m \) doğrunun eğimidir.
Soruda eğim \( m = -3 \) olarak verilmiş.
Bu değeri denklemde yerine koyarsak:
y = \( -3x \)
Dolayısıyla, orijinden geçen ve eğimi -3 olan doğrunun denklemi \( y = -3x \)'tir. 💯

Bir doğrunun denklemi genel olarak \( y = mx + n \) şeklindedir. Burada \( m \) eğim ve \( n \) ise doğrunun y eksenini kestiği noktanın y-koordinatıdır.
Soruda eğim \( m = 2 \) olarak verilmiş.
Doğrunun y eksenini kestiği nokta (0, 4) olduğuna göre, \( n = 4 \)'tür.
Bu değerleri denklemde yerine koyalım:
y = \( 2x + 4 \)
Bu doğrunun denklemi \( y = 2x + 4 \)'tür. ✨

Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir.
Verilen doğrunun denklemi \( y = 2x + 5 \). Bu doğrunun eğimi \( m_1 = 2 \)'dir.
Aradığımız doğru bu doğruya paralel olduğu için, onun da eğimi \( m_2 = 2 \) olacaktır.
Şimdi, eğimi 2 olan ve A(1, -2) noktasından geçen doğrunun denklemini bulmalıyız. Genel denklem \( y = mx + n \) formunu kullanabiliriz.

• Eğim \( m = 2 \). Denklem \( y = 2x + n \) olur.
• Doğru A(1, -2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklemi sağlamalıdır.
• x = 1 ve y = -2 değerlerini denklemde yerine koyalım:
• -2 = \( 2(1) + n \)
• -2 = \( 2 + n \)
• n = -2 - 2
• n = -4

Bulduğumuz \( m = 2 \) ve \( n = -4 \) değerlerini genel denklemde yerine koyarsak, aradığımız doğrunun denklemi \( y = 2x - 4 \) olur. 🚀

İki doğrunun kesim noktasının koordinatları, bu iki doğrunun denklemlerini aynı anda sağlayan \( (x, y) \) değerleridir. Bu nedenle, denklem sistemini çözmemiz gerekir.
Denklemlerimiz:
1) \( y = -x + 3 \)
2) \( y = 3x - 5 \)
Her iki denklem de \( y \)'ye eşit olduğu için, sağ taraflarını birbirine eşitleyebiliriz:

• \( -x + 3 = 3x - 5 \)
• Sabitleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım:
• \( 3 + 5 = 3x + x \)
• \( 8 = 4x \)
• x = \( \frac{8}{4} \)
• x = 2

Şimdi bulduğumuz \( x = 2 \) değerini denklemlerden birinde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım. Birinci denklemi kullanalım:

• \( y = -x + 3 \)
• \( y = -(2) + 3 \)
• \( y = -2 + 3 \)
• \( y = 1 \)

Bu nedenle, doğruların kesim noktasının koordinatları (2, 1)'dir. 🎯

Bu problemde, A ve B noktalarından geçen doğrunun denklemini bulmamız isteniyor.
Verilen noktalar: A(-1, 5) ve B(3, -3).
Öncelikle bu iki noktanın eğimini hesaplayalım:
M = \( \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
\( x_1 = -1 \), \( y_1 = 5 \)
\( x_2 = 3 \), \( y_2 = -3 \)
M = \( \frac{-3 - 5}{3 - (-1)} \)
M = \( \frac{-8}{3 + 1} \)
M = \( \frac{-8}{4} \)
M = -2
Şimdi, eğimi -2 olan ve A(-1, 5) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım. \( y = mx + n \) formülünü kullanabiliriz.

• Eğim \( m = -2 \). Denklem \( y = -2x + n \) olur.
• Doğru A(-1, 5) noktasından geçtiği için, bu noktayı denklemde yerine koyalım:
• 5 = \( -2(-1) + n \)
• 5 = \( 2 + n \)
• n = 5 - 2
• n = 3

Bulduğumuz \( m = -2 \) ve \( n = 3 \) değerlerini denklemde yerine koyarsak, aradığımız doğrunun denklemi \( y = -2x + 3 \) olur. 🛣️

Bu durumu bir denklemle ifade edebiliriz.
Sabit ücret (başlangıç ücreti) doğrunun y eksenini kestiği noktayı (n) temsil eder. Bu durumda, \( n = 10 \) TL'dir.
Kilometre başına alınan ücret ise doğrunun eğimini (m) temsil eder. Bu durumda, \( m = 4 \) TL/km'dir.
Toplam ücret (y), alınan yol (x) ile ilişkilidir ve \( y = mx + n \) genel denklemi ile gösterilir.
Değerleri yerine koyalım:

• y = \( 4x + 10 \)

Bu denklem, taksinin aldığı yol (x kilometre) ile ödeyeceği toplam ücret (y TL) arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Örneğin, 5 kilometre yol giden bir yolcu \( y = 4(5) + 10 = 20 + 10 = 30 \) TL ödeyecektir. 💰