Dik kordinat sisteminde doğrunun özellikleri ve analitik incelemesi Ders Notu

Dik Koordinat Sistemi ve Doğrunun Analitik İncelenmesi

Bu bölümde, analitik geometrinin temel taşlarından biri olan dik koordinat sistemini ve bu sistemde doğruların özelliklerini inceleyeceğiz. İki boyutlu düzlemde noktaları temsil etmek için kullandığımız dik koordinat sistemi, geometrik şekilleri cebirsel olarak ifade etmemizi sağlar. Bir noktanın koordinatları, orijine göre yatay (x ekseni) ve dikey (y ekseni) uzaklıklarını gösteren sıralı bir ikilidir. Örneğin, \( A(x_1, y_1) \) noktası, x ekseninde \( x_1 \) birim ve y ekseninde \( y_1 \) birim uzaklıkta bulunur.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Dik koordinat sisteminde verilen iki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık \( |AB| \) ile gösterilir ve şu formülle bulunur:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Bu formül, iki nokta arasındaki yatay farkın karesi ile dikey farkın karesinin toplamının karekökünü alarak elde edilir.

Örnek 1:

\( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayalım.

Burada \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \) ve \( y_2 = 7 \) 'dir.

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]

Dolayısıyla, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Bir Doğru Parçasının Orta Noktası

İki nokta \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) tarafından belirlenen bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları \( M(x_m, y_m) \) şu şekilde bulunur:

\[ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Orta noktanın x koordinatı, iki noktanın x koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır. Aynı şekilde, y koordinatı da y koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

Örnek 2:

\( C(-1, 4) \) ve \( D(3, -2) \) noktalarının belirlediği doğru parçasının orta noktasını bulalım.

Burada \( x_1 = -1 \), \( y_1 = 4 \), \( x_2 = 3 \) ve \( y_2 = -2 \) 'dir.

\[ x_m = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ y_m = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Orta noktanın koordinatları \( M(1, 1) \) 'dir.

Eğim Kavramı

Bir doğrunun eğimi, o doğrunun x ekseni ile yaptığı açının tanjantıdır. Eğim, doğrunun dikliğinin bir ölçüsüdür. \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen bir doğrunun eğimi \( m \) ile gösterilir ve şu formülle hesaplanır:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Eğer \( x_2 = x_1 \) ise, doğru y eksenine paraleldir ve eğimi tanımsızdır. Eğer \( y_2 = y_1 \) ise, doğru x eksenine paraleldir ve eğimi sıfırdır.

Örnek 3:

\( P(1, 2) \) ve \( Q(4, 8) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.

Burada \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \) ve \( y_2 = 8 \) 'dir.

\[ m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2 \]

Bu doğrunun eğimi 2'dir. Bu, doğru her 1 birim sağa gittiğinde 2 birim yukarı çıktığı anlamına gelir.

Doğrunun Denklemleri

Bir doğrunun denklemini yazmak için genellikle eğimi ve üzerindeki bir nokta veya iki noktası bilinir. Farklı doğru denklemi türleri vardır:

1. Eğim-Nokta Formu

Eğimi \( m \) olan ve \( (x_0, y_0) \) noktasından geçen doğrunun denklemi:

\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]

2. İki Nokta Formu

\( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi:

\[ \frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Bu formül, aslında eğim formülünün yeniden düzenlenmiş halidir.

3. Genel (Standart) Form

Her doğru denklemi \( Ax + By + C = 0 \) şeklinde yazılabilir. Buradaki \( A \) ve \( B \) katsayıları aynı anda sıfır olamaz.

Örnek 4:

Eğimi 3 olan ve \( (2, 1) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulalım.

Eğim-Nokta formunu kullanacağız: \( m = 3 \), \( x_0 = 2 \), \( y_0 = 1 \).

\[ y - 1 = 3(x - 2) \] \[ y - 1 = 3x - 6 \] \[ y = 3x - 5 \]

Bu denklemi genel forma da çevirebiliriz: \( 3x - y - 5 = 0 \).

Paralel ve Dik Doğrular

İki doğrunun birbirine göre durumları eğimleri ile belirlenir:

• Paralel Doğrular: Birbirine paralel olan iki doğrunun eğimleri eşittir. \( m_1 = m_2 \).
• Dik Doğrular: Birbirine dik olan iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'dir. \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).

Örnek 5:

\( y = 2x + 1 \) doğrusuna paralel olan ve \( (3, 4) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.

Paralel oldukları için eğimleri eşittir: \( m_1 = 2 \). Noktamız \( (3, 4) \).

\[ y - 4 = 2(x - 3) \] \[ y - 4 = 2x - 6 \] \[ y = 2x - 2 \]

Örnek 6:

\( y = -\frac{1}{3}x + 5 \) doğrusuna dik olan ve \( (1, -2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.

Dik doğruların eğimleri çarpımı -1 olduğundan, aradığımız doğrunun eğimi \( m_2 \) için \( (-\frac{1}{3}) \cdot m_2 = -1 \) olmalıdır. Buradan \( m_2 = 3 \) bulunur. Noktamız \( (1, -2) \).

\[ y - (-2) = 3(x - 1) \] \[ y + 2 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 5 \]