💡 10. Sınıf Matematik: Dik koordinat sistemini doğrunun özelliklerini incelemek ve doğru ile ilgili problemleri çözebilmek için uygun bir temsil aracı olarak kullanabilme Çözümlü Örnekler

Eğim bulma formülü şöyledir: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Verilen noktalarımız A(\(x_1\), \(y_1\)) = (2, 3) ve B(\(x_2\), \(y_2\)) = (5, 7) şeklindedir.
Bu değerleri formülde yerine koyalım:

• \( m = \frac{7 - 3}{5 - 2} \)
• \( m = \frac{4}{3} \)

Dolayısıyla, doğrunun eğimi \( \frac{4}{3} \) olarak bulunur. ✅

Bir doğrunun eğim açısı \( \alpha \) ise, eğimi \( m = \tan(\alpha) \) formülü ile bulunur.
Burada eğim açımız \( \alpha = 135^\circ \) olarak verilmiştir.
Hesaplamayı yapalım:

• \( m = \tan(135^\circ) \)
• \( m = -1 \)

Bu doğrunun eğimi -1'dir. 👉

Eğimi \(m\) ve y-eksenini kestiği nokta \(n\) olan bir doğrunun genel denklemi \( y = mx + n \) şeklindedir.
Soruda eğim \(m = 2\) olarak verilmiş.
Doğrunun orijinden (0, 0) geçtiği belirtiliyor. Bu, doğrunun y-eksenini 0 noktasında kestiği anlamına gelir, yani \(n = 0\).
Bu değerleri denklemde yerine koyarsak:

• \( y = 2x + 0 \)
• \( y = 2x \)

Doğrunun denklemi \( y = 2x \) olur. 💡

Doğrunun genel denklemi \( y = mx + n \) şeklindedir.
Burada \(m\) doğrunun eğimi ve \(n\) ise y-eksenini kestiği noktadır.
Soruda eğim \( m = -\frac{1}{2} \) olarak verilmiş.
Y-eksenini 4 noktasında kestiği belirtilmiş, yani \( n = 4 \).
Bu değerleri denklemde yerine yazalım:

• \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \)

Doğrunun denklemi \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) olarak bulunur. ✅

Hareketlinin konumunu veren denklem \( x(t) = 3t + 5 \) şeklindedir.
2. saniyedeki konumunu bulmak için \( t = 2 \) değerini denklemde yerine koyalım:

• \( x(2) = 3(2) + 5 \)
• \( x(2) = 6 + 5 \)
• \( x(2) = 11 \)

5. saniyedeki konumunu bulmak için \( t = 5 \) değerini denklemde yerine koyalım:

• \( x(5) = 3(5) + 5 \)
• \( x(5) = 15 + 5 \)
• \( x(5) = 20 \)

Konumlar arasındaki farkı hesaplayalım:

• \( \text{Fark} = x(5) - x(2) \)
• \( \text{Fark} = 20 - 11 \)
• \( \text{Fark} = 9 \)

İki konum arasındaki fark 9 birimdir. 👉

Bu durumu bir doğru denklemine benzetebiliriz.
Açılış ücreti, y-eksenini kestiği nokta (sabit terim) gibidir, yani \( n = 10 \).
Kilometre başına alınan ücret ise doğrunun eğimi gibidir, yani \( m = 4 \).
Gidilen mesafe \( x \) (km) ve toplam ücret \( Ü \) (TL) olsun.
Denklem şu şekilde olur:

• \( Ü = 4x + 10 \)

Şimdi 15 km yol gidildiğinde ödenecek ücreti hesaplayalım. \( x = 15 \) değerini denklemde yerine koyalım:

• \( Ü = 4(15) + 10 \)
• \( Ü = 60 + 10 \)
• \( Ü = 70 \)

15 km yol gidildiğinde ödenecek toplam ücret 70 TL'dir. 💰

İki doğrunun eğimleri arasındaki ilişki, doğruların birbirine göre durumunu belirler.

• Eğer \( m_1 = m_2 \) ise, doğrular paraleldir.
• Eğer \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) ise, doğrular dik kesişir.
• Eğer \( m_1 \neq m_2 \) ve \( m_1 \cdot m_2 \neq -1 \) ise, doğrular kesişir ancak dik değildir.

Verilen eğimlerimize bakalım:

• \( m_1 = 2 \)
• \( m_2 = -\frac{1}{2} \)

Bu iki eğimi çarpalım:

• \( m_1 \cdot m_2 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) \)
• \( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Çarpımları -1 olduğu için, bu iki doğru dik kesişir. 📐

Doğrunun genel denklemi \( Ax + By + C = 0 \) şeklindedir.
Bu denklemi \( y = mx + n \) formuna getirerek eğim ve y-kesim noktasını bulabiliriz.
Verilen denklem: \( 3x + 2y - 6 = 0 \)
\( y \) terimini yalnız bırakalım:

• \( 2y = -3x + 6 \)
• \( y = \frac{-3x + 6}{2} \)
• \( y = -\frac{3}{2}x + 3 \)

Bu denklem \( y = mx + n \) formundadır.
Buradan eğim \( m = -\frac{3}{2} \) ve y-eksenini kestiği nokta \( n = 3 \) olarak bulunur. ✅