Dik koordinat sistemini doğrunun özelliklerini incelemek ve doğru ile ilgili problemleri çözebilmek için uygun bir temsil aracı olarak kullanabilme Ders Notu

Dik Koordinat Sistemi ve Doğrunun Analitiği 📐

Dik koordinat sistemi, geometrik şekilleri ve ilişkileri cebirsel olarak ifade etmek için kullanılan güçlü bir araçtır. Özellikle doğruların özelliklerini incelemek ve bu doğrularla ilgili problemleri çözmek için dik koordinat sisteminden faydalanırız. Bu sistemde, bir noktanın konumu, x ve y eksenleri üzerindeki değerleri ile belirlenir. Bir nokta P olsun, bu noktanın koordinatları \( (x, y) \) şeklinde gösterilir. Burada x, noktanın x eksenine olan uzaklığını (apsis), y ise y eksenine olan uzaklığını (ordinat) ifade eder.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📏

Dik koordinat sisteminde verilen iki nokta \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. Bu uzaklık \( |AB| \) ile gösterilir ve formülü şöyledir:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Örnek 1:

A noktasının koordinatları \( (2, 3) \) ve B noktasının koordinatları \( (5, 7) \) ise, A ve B noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Çözüm:

Verilen noktalar \( A(x_1, y_1) = (2, 3) \) ve \( B(x_2, y_2) = (5, 7) \). Formülü uygulayalım:

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]

Bu iki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Noktanın Doğruya Olan Uzaklığı 📍

Bir \( P(x_0, y_0) \) noktasının \( ax + by + c = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı \( d \) şu formülle bulunur:

\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

Örnek 2:

\( P(1, 2) \) noktasının \( 3x - 4y + 10 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığını hesaplayınız.

Çözüm:

Burada \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 2 \), \( a = 3 \), \( b = -4 \) ve \( c = 10 \). Formülü uygulayalım:

\[ d = \frac{|3(1) + (-4)(2) + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \] \[ d = \frac{|3 - 8 + 10|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|5|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{5}{5} \] \[ d = 1 \]

Noktanın doğruya olan uzaklığı 1 birimdir.

Doğrunun Eğim Açısı ve Eğim ↗️

Bir doğrunun x ekseniyle pozitif yönde yaptığı açıya eğim açısı denir. Eğim açısının tanjantına ise doğrunun eğimi denir ve \( m \) ile gösterilir.

Eğer doğru \( y = mx + n \) şeklinde ise, \( m \) doğrunun eğimidir.

İki noktası \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) bilinen doğrunun eğimi:

\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \]

Paralel doğruların eğimleri eşittir: \( m_1 = m_2 \).

Dik doğruların eğimleri çarpımı -1'dir: \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).

Örnek 3:

\( A(1, 4) \) ve \( B(3, 10) \) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Çözüm:

Burada \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 4 \), \( x_2 = 3 \) ve \( y_2 = 10 \). Formülü kullanalım:

\[ m = \frac{10 - 4}{3 - 1} \] \[ m = \frac{6}{2} \] \[ m = 3 \]

Doğrunun eğimi 3'tür.

Denklem Sistemlerinin Çözümü 🧮

İki doğrunun kesişim noktasını bulmak için denklem sistemlerini çözebiliriz. Bu, iki doğrunun denklemini aynı anda sağlayan \( (x, y) \) koordinatlarını bulmak anlamına gelir.

Örnek 4:

\( y = 2x + 1 \) ve \( y = -x + 4 \) doğrularının kesişim noktasını bulunuz.

Çözüm:

İki denklemde de y'ye eşit olduğu için, sağ taraflarını birbirine eşitleyebiliriz:

\[ 2x + 1 = -x + 4 \]

x'leri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa toplayalım:

\[ 2x + x = 4 - 1 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \]

Bulduğumuz x değerini denklemlerden birine yerine koyarak y'yi bulalım:

İlk denklemde yerine koyarsak: \( y = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 \).

Kesişim noktası \( (1, 3) \)'tür.

Doğrunun Denklemi 📝

Bir noktası \( (x_1, y_1) \) ve eğimi \( m \) olan doğrunun denklemi:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Eğer \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun denklemi isteniyorsa, önce eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) hesaplanır, sonra yukarıdaki formül kullanılır.

Örnek 5:

Eğimi 2 olan ve \( (3, 5) \) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.

Çözüm:

Burada \( m = 2 \) ve \( (x_1, y_1) = (3, 5) \). Formülü uygulayalım:

\[ y - 5 = 2(x - 3) \]

Denklemi düzenleyelim:

\[ y - 5 = 2x - 6 \] \[ y = 2x - 6 + 5 \] \[ y = 2x - 1 \]

Doğrunun denklemi \( y = 2x - 1 \) veya \( 2x - y - 1 = 0 \) şeklindedir.