🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğrunun Özellikleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğrunun Özellikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(3, 5) ve B(7, 2) noktaları veriliyor. Buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) kullanılır.
- Burada \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 7 \) ve \( y_2 = 2 \) olarak alalım.
- Formülde yerine koyduğumuzda: \( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 5)^2} \)
- Hesaplamaları yapalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \)
- \( d = \sqrt{16 + 9} \)
- \( d = \sqrt{25} \)
- Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir. ✅
Örnek 2:
Analitik düzlemde C(-1, 4) ve D(5, -4) noktalarının orta noktasının koordinatları nedir?
Çözüm:
- İki noktanın orta noktasının koordinatları \( M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \) formülü ile bulunur.
- Burada \( x_1 = -1 \), \( y_1 = 4 \), \( x_2 = 5 \) ve \( y_2 = -4 \) olarak alalım.
- Orta noktanın x koordinatı: \( \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
- Orta noktanın y koordinatı: \( \frac{4 + (-4)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \)
- Dolayısıyla, C ve D noktalarının orta noktasının koordinatları (2, 0)'dır. 👉
Örnek 3:
Analitik düzlemde K(a, 2) ve L(4, 6) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, 'a' değerinin pozitif olanını bulunuz.
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Verilenler: \( d = 5 \), \( x_1 = a \), \( y_1 = 2 \), \( x_2 = 4 \), \( y_2 = 6 \)
- Formüle yerleştirelim: \( 5 = \sqrt{(4 - a)^2 + (6 - 2)^2} \)
- Karekökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım: \( 25 = (4 - a)^2 + (4)^2 \)
- \( 25 = (4 - a)^2 + 16 \)
- \( (4 - a)^2 = 25 - 16 \)
- \( (4 - a)^2 = 9 \)
- Bu denklemin iki çözümü vardır: \( 4 - a = 3 \) veya \( 4 - a = -3 \)
- Birinci çözüm: \( a = 4 - 3 = 1 \)
- İkinci çözüm: \( a = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7 \)
- Soruda 'a' değerinin pozitif olanı istendiği için cevap 7'dir. ✅
Örnek 4:
Bir harita üzerinde Ali'nin evi (2, 3) koordinatlarında, okul ise (8, 11) koordinatlarında bulunmaktadır. Ali, evinden okula en kısa yoldan gitmek istediğinde kaç birim yol yürümüş olur?
Çözüm:
- Bu problem, iki nokta arasındaki uzaklık probleminin bir uygulamasıdır.
- Ali'nin evinin koordinatları \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) ve okulun koordinatları \( (x_2, y_2) = (8, 11) \) olarak alınır.
- En kısa yol, iki nokta arasındaki düz çizgidir, yani uzaklık formülü kullanılır: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Değerleri formüle yerleştirelim: \( d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (11 - 3)^2} \)
- Hesaplamalar: \( d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \)
- \( d = \sqrt{36 + 64} \)
- \( d = \sqrt{100} \)
- Ali, evinden okula 10 birim yol yürümüş olur. 🚶♂️
Örnek 5:
Analitik düzlemde verilen P(1, -2), Q(7, -2) ve R(4, 2) noktalarının oluşturduğu üçgenin çevresini hesaplayınız.
Çözüm:
- Üçgenin çevresini bulmak için kenar uzunluklarını hesaplamamız gerekir.
- PQ Kenarı: P(1, -2) ve Q(7, -2) noktaları arasındaki uzaklık. Y koordinatları aynı olduğu için yatay bir doğrudur. Uzaklık \( |7 - 1| = 6 \) birimdir.
- QR Kenarı: Q(7, -2) ve R(4, 2) noktaları arasındaki uzaklık.
- \( d_{QR} = \sqrt{(4 - 7)^2 + (2 - (-2))^2} \)
- \( d_{QR} = \sqrt{(-3)^2 + (4)^2} \)
- \( d_{QR} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- PR Kenarı: P(1, -2) ve R(4, 2) noktaları arasındaki uzaklık.
- \( d_{PR} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} \)
- \( d_{PR} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \)
- \( d_{PR} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- Üçgenin çevresi = PQ + QR + PR = \( 6 + 5 + 5 = 16 \) birimdir. 📐
Örnek 6:
Analitik düzlemde A(2, 5) noktasının, \( y = x + 1 \) doğrusuna olan uzaklığını hesaplayınız.
Çözüm:
- Bu problemde, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığı formülü kullanılır. Ancak 10. sınıf müfredatında bu formül doğrudan verilmez. Bu nedenle, problemi geometrik yaklaşımla çözebiliriz.
- Doğrunun eğimi \( m = 1 \) ve y-keseni \( c = 1 \)'dir.
- A(2, 5) noktasından geçen ve \( y = x + 1 \) doğrusuna dik olan doğrunun eğimi, orijinal doğrunun eğiminin ters işaretiyle çarpımına eşittir. Dik doğrunun eğimi \( m_{\perp} = -1/1 = -1 \) olur.
- Dik doğrunun denklemi: \( y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1) \)
- \( y - 5 = -1(x - 2) \)
- \( y - 5 = -x + 2 \)
- \( y = -x + 7 \)
- Şimdi, \( y = x + 1 \) doğrusu ile \( y = -x + 7 \) doğrusunun kesişim noktasını bulalım.
- \( x + 1 = -x + 7 \)
- \( 2x = 6 \)
- \( x = 3 \)
- \( y = 3 + 1 = 4 \)
- Kesişim noktası K(3, 4)'tür.
- Son olarak, A(2, 5) noktası ile K(3, 4) noktası arasındaki uzaklığı hesaplayalım.
- \( d = \sqrt{(3 - 2)^2 + (4 - 5)^2} \)
- \( d = \sqrt{(1)^2 + (-1)^2} \)
- \( d = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)
- A noktasının \( y = x + 1 \) doğrusuna olan uzaklığı \( \sqrt{2} \) birimdir. 💡
Örnek 7:
Bir GPS cihazı, kullanıcının konumunu (4, 6) olarak gösteriyor. Cihaz, yakındaki bir marketin konumunu (10, 14) olarak belirtiyor. Kullanıcının markete olan mesafesi yaklaşık kaç birimdir?
Çözüm:
- Bu durum, iki nokta arasındaki uzaklık probleminin bir örneğidir.
- Kullanıcının konumu \( (x_1, y_1) = (4, 6) \) ve marketin konumu \( (x_2, y_2) = (10, 14) \) olarak alınır.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Değerleri formüle yerleştirelim: \( d = \sqrt{(10 - 4)^2 + (14 - 6)^2} \)
- Hesaplamalar: \( d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \)
- \( d = \sqrt{36 + 64} \)
- \( d = \sqrt{100} \)
- Kullanıcının markete olan mesafesi 10 birimdir. 📍
Örnek 8:
Analitik düzlemde M(x, 3) ve N(5, -1) noktaları arasındaki uzaklık \( \sqrt{32} \) birimdir. Buna göre 'x' değerlerinin toplamını bulunuz.
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
- Verilenler: \( d = \sqrt{32} \), \( x_1 = x \), \( y_1 = 3 \), \( x_2 = 5 \), \( y_2 = -1 \)
- Formüle yerleştirelim: \( \sqrt{32} = \sqrt{(5 - x)^2 + (-1 - 3)^2} \)
- Her iki tarafın karesini alalım: \( 32 = (5 - x)^2 + (-4)^2 \)
- \( 32 = (5 - x)^2 + 16 \)
- \( (5 - x)^2 = 32 - 16 \)
- \( (5 - x)^2 = 16 \)
- Bu denklemin iki çözümü vardır: \( 5 - x = 4 \) veya \( 5 - x = -4 \)
- Birinci çözüm: \( x = 5 - 4 = 1 \)
- İkinci çözüm: \( x = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9 \)
- 'x' değerlerinin toplamı: \( 1 + 9 = 10 \) olur. ➕
Örnek 9:
Bir robot, başlangıç noktasından (0, 0) hareketine başlıyor. Önce (3, 4) noktasına gidiyor, ardından bu noktadan (7, 1) noktasına hareket ediyor. Robot toplamda kaç birim yol almıştır?
Çözüm:
- Robotun aldığı toplam yolu bulmak için iki ayrı mesafeyi hesaplayıp toplamamız gerekiyor.
- Birinci Mesafe: Başlangıç noktası (0, 0) ile (3, 4) noktası arasındaki uzaklık.
- \( d_1 = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} \)
- \( d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} \)
- \( d_1 = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- İkinci Mesafe: (3, 4) noktası ile (7, 1) noktası arasındaki uzaklık.
- \( d_2 = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 4)^2} \)
- \( d_2 = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \)
- \( d_2 = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
- Robotun aldığı toplam yol = \( d_1 + d_2 = 5 + 5 = 10 \) birimdir. 🤖
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sisteminde-iki-nokta-arasindaki-uzaklik-ve-dogrunun-ozellikleri/sorular