📄 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğrunun Özellikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

\(C\) noktası \(AB\) doğru parçasının orta noktası olduğundan, orta nokta formülünü kullanırız:\[ C\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \]

Burada \(A(1, 2)\) ve \(B(4, 6)\) noktaları için:\[ C\left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = C\left(\frac{5}{2}, \frac{8}{2}\right) = C\left(2.5, 4\right) \]

\(C\) noktasının koordinatları \((2.5, 4)\) olarak bulunur.\

\(AC\) doğru parçasının uzunluğunu bulmak için iki nokta arası uzaklık formülünü kullanırız. \(A(1, 2)\) ve \(C(2.5, 4)\) için:\[ |AC| = \sqrt{(2.5-1)^2 + (4-2)^2} \]

\[ |AC| = \sqrt{(1.5)^2 + (2)^2} = \sqrt{2.25 + 4} = \sqrt{6.25} = 2.5 \text{ birim} \]

\(AB\) doğrusunun eğimini bulmak için eğim formülünü kullanırız. \(A(1, 2)\) ve \(B(4, 6)\) için:\[ m_{AB} = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \frac{6-2}{4-1} = \frac{4}{3} \]

\(AB\) doğrusunun eğimi \(\frac{4}{3}\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklem sistemini çözmemiz gerekir. Denklemler:

1) \(2x - y + 4 = 0\)

2) \(x + y - 1 = 0\)



İkinci denklemden \(y\) değerini çekelim: \(y = 1 - x\). Bu ifadeyi birinci denklemde yerine koyalım:

\(2x - (1 - x) + 4 = 0\)

\(2x - 1 + x + 4 = 0\)

\(3x + 3 = 0\)

\(3x = -3\)

\(x = -1\)



Şimdi \(x = -1\) değerini \(y = 1 - x\) denkleminde yerine koyarak \(y\) değerini bulalım:

\(y = 1 - (-1)\)

\(y = 1 + 1\)

\(y = 2\)



Bu iki doğrunun kesim noktasının koordinatları \((-1, 2)\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

\(AB\) kenarına ait yüksekliğin uzunluğunu bulmak için öncelikle \(AB\) kenarının uzunluğunu ve \(AB\) doğrusunun denklemini bulmamız gerekir.



1. \(AB\) kenarının uzunluğu:\[ |AB| = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(5+3)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2} = 8 \text{ birim} \]



2. \(AB\) doğrusunun denklemi: \(A(-3, 1)\) ve \(B(5, 1)\) noktalarının y koordinatları aynı olduğu için bu doğru x eksenine paraleldir ve denklemi \(y = 1\) şeklindedir. Yani \(y - 1 = 0\).



3. \(C(1, 7)\) noktasından \(y - 1 = 0\) doğrusuna olan uzaklık (yükseklik) formülü \(h = \frac{|Ay_0 + Bx_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\) kullanılır. Ancak burada doğru denklemi \(y - 1 = 0\) olduğundan, \(x\) katsayısı \(A=0\), \(y\) katsayısı \(B=1\) ve sabit terim \(C=-1\) dir. \(C(1, 7)\) noktası için \(x_0=1\) ve \(y_0=7\) dir.

\[ h = \frac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 7 - 1|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \frac{|7 - 1|}{\sqrt{1}} = \frac{6}{1} = 6 \text{ birim} \]



Alternatif olarak, \(AB\) doğrusu \(y=1\) doğrusu olduğundan, \(C(1, 7)\) noktasının bu doğruya olan uzaklığı, \(C\) noktasının y koordinatı ile doğrunun y koordinatı arasındaki farkın mutlak değeri olacaktır. \(|7 - 1| = 6\) birimdir.



\(ABC\) üçgeninin \(AB\) kenarına ait yüksekliğin uzunluğu 6 birimdir.