Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğrunun Özellikleri Ders Notu

Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğrunun Özellikleri

Bu dersimizde, analitik geometrinin temel taşlarından biri olan dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklığın nasıl hesaplandığını ve doğruların temel özelliklerini öğreneceğiz. Bu bilgiler, geometri problemlerini çözmede ve günlük hayattaki pek çok durumu matematiksel olarak modellemede bize yardımcı olacaktır.

1. Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik düzlemde verilen iki noktanın koordinatlarını biliyorsak, bu iki nokta arasındaki mesafeyi Pisagor teoremini kullanarak hesaplayabiliriz. İki nokta \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olsun. Bu iki nokta arasındaki uzaklık \( |AB| \) şu formülle bulunur:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Burada \( (x_2 - x_1) \) yatay eksen üzerindeki farkı, \( (y_2 - y_1) \) ise dikey eksen üzerindeki farkı temsil eder. Bu farkların karelerinin toplamının karekökü bize iki nokta arasındaki uzaklığı verir.

Örnek 1:

Aşağıdaki noktalar arasındaki uzaklığı hesaplayınız: \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \).

\( x_1 = 2, y_1 = 3 \)
\( x_2 = 5, y_2 = 7 \)

Formülü uygulayalım:

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]

Yani, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Örnek 2:

Orijin \( O(0, 0) \) ile \( P(4, -3) \) noktası arasındaki uzaklığı bulunuz.

\( x_1 = 0, y_1 = 0 \)
\( x_2 = 4, y_2 = -3 \)

Formülü uygulayalım:

\[ |OP| = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - 0)^2} \] \[ |OP| = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \] \[ |OP| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |OP| = \sqrt{25} \] \[ |OP| = 5 \]

Orijin ile P noktası arasındaki uzaklık 5 birimdir.

2. Doğrunun Özellikleri

Analitik düzlemde bir doğru, denklemi ile temsil edilir. En genel doğru denklemi \( ax + by + c = 0 \) şeklindedir. Bu denklemden doğrunun eğimi, eksenleri kestiği noktalar gibi önemli özellikler çıkarılabilir.

2.1. Doğrunun Eğimi

Bir doğrunun eğimi, yatay eksenle yaptığı açının tanjantıdır. \( y = mx + n \) şeklindeki denklemde \( m \) doğrunun eğimidir. \( ax + by + c = 0 \) denkleminde ise eğim \( m = -\frac{a}{b} \) (burada \( b \neq 0 \)) olarak bulunur.

Eğim pozitif ise, doğru sağa yatıktır.
Eğim negatif ise, doğru sola yatıktır.
Eğim sıfır ise, doğru yataydır (x eksenine paraleldir).
Eğim tanımsız ise, doğru dikeydir (y eksenine paraleldir).

2.2. Eksenleri Kestiği Noktalar

Bir doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için denklemde ilgili değişkeni sıfıra eşitlememiz gerekir:

x-eksenini kestiği nokta: \( y = 0 \) konulur ve \( x \) değeri bulunur.
y-eksenini kestiği nokta: \( x = 0 \) konulur ve \( y \) değeri bulunur.

Örnek 3:

\( 2x + 3y - 6 = 0 \) doğrusunun eğimini ve eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

Eğim: \( a = 2, b = 3 \). Eğim \( m = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{3} \).
x-eksenini kestiği nokta: \( y = 0 \) koyalım. \( 2x + 3(0) - 6 = 0 \Rightarrow 2x - 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3 \). Nokta \( (3, 0) \).
y-eksenini kestiği nokta: \( x = 0 \) koyalım. \( 2(0) + 3y - 6 = 0 \Rightarrow 3y - 6 = 0 \Rightarrow 3y = 6 \Rightarrow y = 2 \). Nokta \( (0, 2) \).

2.3. Paralel ve Dik Doğrular

Paralel Doğrular: Birbirine paralel olan doğruların eğimleri eşittir. \( d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow m_1 = m_2 \)
Dik Doğrular: Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) dir. \( d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Örnek 4:

\( y = 3x + 5 \) doğrusuna paralel olan ve \( (1, 2) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Paralel doğruların eğimleri eşittir. Bu nedenle yeni doğrunun eğimi de \( m = 3 \) olur. Nokta-eğim formülünü kullanalım: \( y - y_1 = m(x - x_1) \).

\[ y - 2 = 3(x - 1) \] \[ y - 2 = 3x - 3 \] \[ y = 3x - 1 \]

Denklem \( 3x - y - 1 = 0 \) şeklinde de yazılabilir.

Örnek 5:

\( y = -\frac{1}{2}x + 4 \) doğrusuna dik olan ve \( (3, 1) \) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Dik doğruların eğimleri çarpımı \( -1 \) dir. Verilen doğrunun eğimi \( m_1 = -\frac{1}{2} \). Dik doğrunun eğimi \( m_2 \) ise \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) olmalıdır.

\[ (-\frac{1}{2}) \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = 2 \]

Yeni doğrunun eğimi \( m = 2 \) ve geçtiği nokta \( (3, 1) \). Nokta-eğim formülünü kullanalım:

\[ y - 1 = 2(x - 3) \] \[ y - 1 = 2x - 6 \] \[ y = 2x - 5 \]

Denklem \( 2x - y - 5 = 0 \) şeklinde de yazılabilir.