💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Doğrunun Analitik İncelenmesi Çözümlü Örnekler

Bu tür bir soruyu çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır. Formül şöyledir: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktaların koordinatlarıdır. Adım 1: Noktaların koordinatlarını belirleyelim. \( x_1 = 3, y_1 = 5 \) \( x_2 = 7, y_2 = 2 \) Adım 2: Formülde yerine koyalım. \[ d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 5)^2} \] Adım 3: Hesaplamaları yapalım. \[ d = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 9} \] \[ d = \sqrt{25} \] \[ d = 5 \] Sonuç olarak, AB doğru parçasının uzunluğu 5 birimdir. ✅

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü tekrar hatırlayalım: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Adım 1: Noktaların koordinatlarını tanımlayalım. \( C \) noktası \( (x_1, y_1) = (-2, 1) \) \( D \) noktası \( (x_2, y_2) = (4, -7) \) Adım 2: Formülü uygulayalım. \[ d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-7 - 1)^2} \] Adım 3: İşlemleri gerçekleştirelim. \[ d = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-8)^2} \] \[ d = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] Bu iki nokta arasındaki uzaklık 10 birimdir. 👉

Bir doğrunun eksenleri kestiği noktalar biliniyorsa, denklemini bulmak için farklı yöntemler kullanılabilir. Yöntem 1: Eğim ve Bir Nokta Kullanarak Adım 1: Doğrunun geçtiği noktaları belirleyelim. x-eksenini kestiği nokta: \( (4, 0) \) y-eksenini kestiği nokta: \( (0, -2) \) Adım 2: Doğrunun eğimini hesaplayalım. Eğim \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) \( m = \frac{-2 - 0}{0 - 4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \) Adım 3: Eğim-kesen denklemini kullanalım: \( y = mx + n \). Buradaki \( n \) y-eksenini kestiği noktadır. \( y = \frac{1}{2}x - 2 \) Yöntem 2: Kesme Noktaları Formülü Eksenleri kestiği noktalar \( (a, 0) \) ve \( (0, b) \) olan doğrunun denklemi \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \) şeklindedir. Burada \( a = 4 \) ve \( b = -2 \). \[ \frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1 \] Bu denklemi düzenleyelim: \[ \frac{x}{4} - \frac{y}{2} = 1 \] Her iki tarafı 4 ile çarparsak: \[ x - 2y = 4 \] Bu denklem, \( y = \frac{1}{2}x - 2 \) denklemi ile aynıdır. Doğrunun denklemi \( x - 2y = 4 \) veya \( y = \frac{1}{2}x - 2 \)'dir. ✨

Bu soruda önce iki nokta arasındaki uzaklığı bulup, sonra bu uzaklığın yarısını hesaplayacağız. Adım 1: İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayalım. \( K(x_1, y_1) = (1, 2) \) \( L(x_2, y_2) = (5, 6) \) \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] \[ d = \sqrt{(5 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \] Adım 2: Hesaplamaları yapalım. \[ d = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} \] \[ d = \sqrt{16 + 16} \] \[ d = \sqrt{32} \] Adım 3: \( \sqrt{32} \) ifadesini sadeleştirelim. \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \) Yani, KL doğru parçasının uzunluğu \( 4\sqrt{2} \) birimdir. Adım 4: Uzaklığın yarısını bulalım. \( \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \) Sonuç olarak, K ve L noktaları arasındaki uzaklığın yarısı \( 2\sqrt{2} \) birimdir. 💡

Bu bir "Yeni Nesil" soru tipidir ve temelinde iki nokta arasındaki uzaklık formülü yatar. Hareketlinin aldığı yol, A ve B noktaları arasındaki doğru parçasının uzunluğuna eşittir. Adım 1: İki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlayalım. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Adım 2: Verilen noktaların koordinatlarını formülde yerine koyalım. \( A(x_1, y_1) = (1, 3) \) \( B(x_2, y_2) = (7, 11) \) \[ d = \sqrt{(7 - 1)^2 + (11 - 3)^2} \] Adım 3: Hesaplamaları adım adım yapalım. \[ d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] Hareketlinin aldığı yol 10 birimdir. Bu tür sorularda, hareketin doğrusal olması, doğrudan uzaklık formülünü kullanmamızı sağlar. ✅

Bu senaryo, harita üzerindeki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplamak için analitik düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklık formülünün nasıl kullanılabileceğini gösterir. Adım 1: İki nokta arasındaki uzaklık formülü \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) 'dir. Adım 2: Harita üzerindeki noktaların koordinatlarını belirleyelim. \( A(x_1, y_1) = (2, 3) \) \( B(x_2, y_2) = (8, 11) \) Adım 3: Formülü uygulayarak mesafeyi hesaplayalım. \[ d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (11 - 3)^2} \] Adım 4: İşlemleri tamamlayalım. \[ d = \sqrt{(6)^2 + (8)^2} \] \[ d = \sqrt{36 + 64} \] \[ d = \sqrt{100} \] \[ d = 10 \] Harita üzerindeki A ve B noktaları arasındaki kuş uçuşu mesafe 10 birimdir. Bu, gerçek dünyadaki mesafelerin harita üzerindeki temsillerini anlamak için harika bir örnektir. 🌍

Bu soru, doğruların paralelliği ve orijinden geçen doğru denklemi bilgisini birleştirir. Adım 1: Paralel doğruların eğimlerinin eşit olduğunu hatırlayalım. Verilen doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \). Bu denklem \( y = mx + n \) formatındadır. Buradan, doğrunun eğimi \( m = 2 \) bulunur. Paralel olan yeni doğrunun eğimi de \( m_{yeni} = 2 \) olmalıdır. Adım 2: Orijinden geçen doğrunun denklemi \( y = mx \) şeklindedir. Çünkü orijin \( (0, 0) \) noktasından geçen bir doğrunun denkleminde \( y = mx + n \) formülünde \( x=0 \) ve \( y=0 \) koyduğumuzda \( 0 = m(0) + n \) yani \( n=0 \) olur. Adım 3: Yeni doğrunun eğimini ve orijinden geçtiği bilgisini birleştirelim. Yeni doğrunun eğimi \( m_{yeni} = 2 \) ve orijinden geçtiği için denklem \( y = m_{yeni}x \) olur. \[ y = 2x \] Bu doğrunun denklemi \( y = 2x \)'tir. 🌟

Bu soru, iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bilinmeyen bir değeri bulma becerisini ölçer. Adım 1: İki nokta arasındaki uzaklık formülünü yazalım. \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Adım 2: Verilen noktaları ve uzaklığı formülde yerine koyalım. \( M(x_1, y_1) = (a, 4) \) \( N(x_2, y_2) = (3, a) \) \( d = 5 \) \[ 5 = \sqrt{(3 - a)^2 + (a - 4)^2} \] Adım 3: Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulalım. \[ 5^2 = (3 - a)^2 + (a - 4)^2 \] \[ 25 = (9 - 6a + a^2) + (a^2 - 8a + 16) \] Adım 4: Denklemi düzenleyip ikinci dereceden bir denklem elde edelim. \[ 25 = a^2 - 6a + 9 + a^2 - 8a + 16 \] \[ 25 = 2a^2 - 14a + 25 \] Adım 5: Denklemi sıfıra eşitleyelim ve çözelim. \[ 0 = 2a^2 - 14a \] Bu denklemi \( 2a \) parantezine alabiliriz: \[ 0 = 2a(a - 7) \] Bu çarpımın sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir: \( 2a = 0 \) => \( a = 0 \) \( a - 7 = 0 \) => \( a = 7 \) a'nın alabileceği değerler 0 ve 7'dir. 🧐