💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. Formülümüz: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada A noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) = (2, 3) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) = (5, 7) \) dir.

Uygulayalım:

• 👉 Önce x koordinatlarının farkını bulalım: \( x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3 \)
• 👉 Sonra y koordinatlarının farkını bulalım: \( y_2 - y_1 = 7 - 3 = 4 \)
• 👉 Bu farkların karelerini alıp toplayalım: \( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \)
• 👉 Son olarak karekökünü alalım: \( \sqrt{25} = 5 \)

✅ Yani, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Yine iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Burada C noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) = (-4, 1) \) ve D noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) = (2, -7) \) dir.

Hesaplayalım:

• 👉 x koordinatlarının farkı: \( x_2 - x_1 = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 \)
• 👉 y koordinatlarının farkı: \( y_2 - y_1 = -7 - 1 = -8 \)
• 👉 Farkların karelerini alıp toplayalım: \( 6^2 + (-8)^2 = 36 + 64 = 100 \)
• 👉 Karekökünü alalım: \( \sqrt{100} = 10 \)

✅ Sonuç olarak, C ve D noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak denklemi kuracağız: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Verilenler: \( d = 5 \), \( (x_1, y_1) = (1, 2) \), \( (x_2, y_2) = (x, 5) \).

Denklemi oluşturalım:

• 👉 \( 5 = \sqrt{(x - 1)^2 + (5 - 2)^2} \)
• 👉 \( 5 = \sqrt{(x - 1)^2 + 3^2} \)
• 👉 \( 5 = \sqrt{(x - 1)^2 + 9} \)
• 👉 Her iki tarafın karesini alalım: \( 5^2 = (x - 1)^2 + 9 \)
• 👉 \( 25 = (x - 1)^2 + 9 \)
• 👉 \( 25 - 9 = (x - 1)^2 \)
• 👉 \( 16 = (x - 1)^2 \)
• 👉 Şimdi \( (x - 1) \) ifadesi için iki olası değer vardır: \( x - 1 = 4 \) veya \( x - 1 = -4 \)
• 👉 Eğer \( x - 1 = 4 \) ise, \( x = 5 \) olur.
• 👉 Eğer \( x - 1 = -4 \) ise, \( x = -3 \) olur.

✅ Buna göre, x'in alabileceği değerler 5 ve -3'tür.

Öncelikle üçgenin kenar uzunluklarını, yani noktalar arası uzaklıkları bulmamız gerekiyor.

• 👉 AB kenarının uzunluğu:
  \( d_{AB} = \sqrt{(7 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \) birim.
• 👉 BC kenarının uzunluğu:
  \( d_{BC} = \sqrt{(4 - 7)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.
• 👉 AC kenarının uzunluğu:
  \( d_{AC} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birim.

Şimdi çevre ve üçgenin türünü belirleyelim:

• 👉 Çevre: \( AB + BC + AC = 6 + 5 + 5 = 16 \) birim.
• 👉 Üçgenin Türü: Kenar uzunluklarına baktığımızda, \( BC = 5 \) birim ve \( AC = 5 \) birimdir. İki kenar uzunluğu birbirine eşit olduğu için bu bir ikizkenar üçgendir.

✅ Direklerin oluşturduğu üçgenin çevresi 16 birimdir ve bu üçgen ikizkenar bir üçgendir.

Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları, uç noktaların x ve y koordinatlarının aritmetik ortalaması alınarak bulunur. Orta nokta M(x, y) ise:
\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \] Burada A noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) = (1, -3) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) = (7, 9) \) dir.

Hesaplayalım:

• 👉 x koordinatı: \( x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
• 👉 y koordinatı: \( y = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)

✅ Dolayısıyla, doğru parçasının orta noktası M(4, 3)'tür.

C noktası AB doğru parçasını AC/CB = m/n = 3/2 oranında içten bölüyor. Yani \( m=3 \) ve \( n=2 \).
C noktasının koordinatları \( (x_C, y_C) \) şu formülle bulunur:
\[ x_C = \frac{n x_A + m x_B}{m + n} \] \[ y_C = \frac{n y_A + m y_B}{m + n} \] Burada A noktasının koordinatları \( (x_A, y_A) = (-2, 5) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_B, y_B) = (8, 0) \) dir.

Hesaplayalım:

• 👉 C noktasının x koordinatı: \( x_C = \frac{2 \cdot (-2) + 3 \cdot 8}{3 + 2} = \frac{-4 + 24}{5} = \frac{20}{5} = 4 \)
• 👉 C noktasının y koordinatı: \( y_C = \frac{2 \cdot 5 + 3 \cdot 0}{3 + 2} = \frac{10 + 0}{5} = \frac{10}{5} = 2 \)

✅ Buna göre, C noktasının koordinatları C(4, 2)'dir.

M noktası AB doğru parçasının orta noktası olduğuna göre, orta nokta formülünü kullanarak B noktasının koordinatlarını bulabiliriz.
Orta nokta M(x_M, y_M) ise:
\[ x_M = \frac{x_A + x_B}{2} \] \[ y_M = \frac{y_A + y_B}{2} \] Verilenler: \( A(x_A, y_A) = (3, -1) \), \( M(x_M, y_M) = (5, 2) \). B noktasının koordinatları \( (x_B, y_B) = (x, y) \).

Hesaplayalım:

• 👉 x koordinatı için:
  \( 5 = \frac{3 + x}{2} \)
  \( 5 \cdot 2 = 3 + x \)
  \( 10 = 3 + x \)
  \( x = 10 - 3 = 7 \)
• 👉 y koordinatı için:
  \( 2 = \frac{-1 + y}{2} \)
  \( 2 \cdot 2 = -1 + y \)
  \( 4 = -1 + y \)
  \( y = 4 + 1 = 5 \)

✅ Böylece, B noktasının koordinatları B(7, 5) olarak bulunur.

Çocuk parkının her iki mahalleye de eşit uzaklıkta olması demek, parkın A ve B mahallelerini birleştiren doğru parçasının orta noktasında bulunması demektir.
Orta nokta M(x, y) formülünü kullanalım:
\[ x = \frac{x_A + x_B}{2} \] \[ y = \frac{y_A + y_B}{2} \] Burada A noktasının koordinatları \( (x_A, y_A) = (100, 200) \) ve B noktasının koordinatları \( (x_B, y_B) = (700, 800) \) dir.

Hesaplayalım:

• 👉 Parkın x koordinatı: \( x = \frac{100 + 700}{2} = \frac{800}{2} = 400 \)
• 👉 Parkın y koordinatı: \( y = \frac{200 + 800}{2} = \frac{1000}{2} = 500 \)

✅ Bu durumda, çocuk parkının kurulması gereken noktanın koordinatları (400, 500) olmalıdır. Bu, her iki mahalleye de eşit uzaklıkta optimal bir konum sağlar.