📄 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen \(A(1, 2)\) ve \(B(5, 2)\) noktalarının y koordinatları aynı olduğu için bu iki nokta yatay bir doğru üzerindedir. \(|AC| = |BC|\) eşitliğinin sağlanması için \(C\) noktasının, \(AB\) doğru parçasının orta dikmesi üzerinde olması gerekir.

Öncelikle \(AB\) doğru parçasının orta noktasını bulalım:
Orta noktanın apsisi: \(\frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3\)
Orta noktanın ordinatı: \(\frac{y_A + y_B}{2} = \frac{2 + 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\)
Buna göre \(AB\) doğru parçasının orta noktası \((3, 2)\) dir.

\(AB\) doğru parçası yatay (x eksenine paralel) olduğundan, orta dikmesi düşey bir doğru olacaktır. Bu düşey doğru, orta noktanın apsisinden geçer. Dolayısıyla orta dikme doğrusu \(x=3\) doğrusudur.

\(C(x, 6)\) noktası bu \(x=3\) doğrusu üzerinde yer alması gerektiğinden, \(C\) noktasının apsisi \(x\) değeri \(3\) olmalıdır.

Kontrol edelim:
\(|AC|^2 = (3-1)^2 + (6-2)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\)
\(|BC|^2 = (3-5)^2 + (6-2)^2 = (-2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20\)
\(|AC| = |BC| = \sqrt{20}\) olduğu görülür. Böylece \(x=3\) doğru cevaptır.

💡 Çözüm Adımları:

\(C\) noktası \(AB\) doğru parçasını dıştan böldüğü ve \(\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{1}{3}\) oranı verildiği için, \(C\) noktası \(A\) noktasına daha yakın ve \(A\) noktasının dış tarafında yer alır. Yani noktaların sıralaması \(C-A-B\) şeklindedir.

Bu durumda \(A\) noktası, \(CB\) doğru parçasını \(1:2\) oranında içten böler. (\(|CA|=k\), \(|AB|=2k\) olursa \(|CB|=3k\) olur ve \(\frac{|CA|}{|CB|} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}\) sağlanır.)

\(A(x_A, y_A) = (-2, 4)\)
\(B(x_B, y_B) = (6, -4)\)
\(C(x_C, y_C)\) olsun.

\(A\) noktası \(CB\) doğru parçasını \(1:2\) oranında içten böldüğü için içten bölme formülünü kullanırız:
\(x_A = \frac{2x_C + 1x_B}{2+1}\) ve \(y_A = \frac{2y_C + 1y_B}{2+1}\)

Apsis için:
\(-2 = \frac{2x_C + 1 \cdot 6}{3}\)
\(-6 = 2x_C + 6\)
\(-12 = 2x_C\)
\(x_C = -6\)

Ordinat için:
\(4 = \frac{2y_C + 1 \cdot (-4)}{3}\)
\(12 = 2y_C - 4\)
\(16 = 2y_C\)
\(y_C = 8\)

Buna göre \(C\) noktasının koordinatları \((-6, 8)\) olarak bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu durumda \(AC\) köşegeninin orta noktası ile \(BD\) köşegeninin orta noktası aynıdır.

Önce \(AC\) köşegeninin orta noktasını \(K\) olarak bulalım:
\(K_x = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
\(K_y = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)
Böylece \(K\) noktasının koordinatları \((4, 4)\) olur.

Şimdi \(D\) noktasının koordinatları \((x_D, y_D)\) olsun. \(BD\) köşegeninin orta noktası da \(K(4, 4)\) olmalıdır:
\(K_x = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 4 = \frac{5 + x_D}{2}\)
\(8 = 5 + x_D\)
\(x_D = 3\)

\(K_y = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 4 = \frac{1 + y_D}{2}\)
\(8 = 1 + y_D\)
\(y_D = 7\)

Buna göre \(D\) noktasının koordinatları \((3, 7)\) olarak bulunur.

Alternatif olarak, bir paralelkenarda karşılıklı köşelerin koordinatları toplamı birbirine eşittir:
\(x_A + x_C = x_B + x_D\)
\(1 + 7 = 5 + x_D\)
\(8 = 5 + x_D\)
\(x_D = 3\)

\(y_A + y_C = y_B + y_D\)
\(3 + 5 = 1 + y_D\)
\(8 = 1 + y_D\)
\(y_D = 7\)

Her iki yöntemle de \(D\) noktasının koordinatları \((3, 7)\) olarak elde edilir.