Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık ve Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme Ders Notu

Dik koordinat sistemi, noktaların konumlarını sayı ikilileri ile ifade etmemizi sağlayan temel bir matematiksel araçtır. Bu sistemde, noktalar arasındaki uzaklıkları hesaplamak ve doğru parçalarını belirli oranlarda bölmek, geometri ve analitik geometri problemlerinin çözümünde sıkça kullanılan önemli becerilerdir.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📏

Dik koordinat sisteminde verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Noktaların x ve y koordinatları arasındaki farklar, bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur ve bu iki nokta arasındaki uzaklık da bu üçgenin hipotenüs uzunluğuna eşittir.

Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan iki nokta arasındaki uzaklık \(|AB|\) aşağıdaki formülle bulunur:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Önemli Not: Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir. Formüldeki kare alma işlemi sayesinde \(x_2 - x_1\) veya \(y_2 - y_1\) negatif olsa bile sonuç pozitif olacaktır. Ayrıca, \( (x_2 - x_1)^2 \) yerine \( (x_1 - x_2)^2 \) yazmak sonucu değiştirmez.

Örnek ✍️

Koordinatları \(A(2, 3)\) ve \(B(5, 7)\) olan iki nokta arasındaki uzaklığı bulalım.

• \(x_1 = 2\), \(y_1 = 3\)
• \(x_2 = 5\), \(y_2 = 7\)

Formülü uygulayarak:

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]

Buna göre, \(A\) ve \(B\) noktaları arasındaki uzaklık \(5\) birimdir.

Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme 🎯

Bir doğru parçasını belli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulma işlemi, analitik geometride sıkça karşılaşılan bir problemdir. Bu işlem, noktanın doğru parçasını içten mi yoksa dıştan mı böldüğüne göre iki farklı şekilde ele alınır.

İçten Bölme 🤩

Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan bir doğru parçasını, \(C(x, y)\) noktası içten bölsün. Eğer \(|AC| / |CB| = k\) oranı verilmişse, \(C\) noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

\[ x = \frac{x_1 + kx_2}{1+k} \] \[ y = \frac{y_1 + ky_2}{1+k} \]

Orta Nokta Durumu: Bir doğru parçasının orta noktası, doğru parçasını \(k=1\) oranında içten bölen noktadır. Bu durumda formüller basitleşir:

• \( x_{orta} = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
• \( y_{orta} = \frac{y_1 + y_2}{2} \)

Örnek ✍️

Koordinatları \(A(1, 2)\) ve \(B(7, 11)\) olan doğru parçasını, \(|AC| / |CB| = 2\) oranında içten bölen \(C\) noktasının koordinatlarını bulalım.

• \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\)
• \(x_2 = 7\), \(y_2 = 11\)
• \(k = 2\)

Formülleri uygulayarak:

\[ x = \frac{1 + 2 \cdot 7}{1+2} = \frac{1 + 14}{3} = \frac{15}{3} = 5 \] \[ y = \frac{2 + 2 \cdot 11}{1+2} = \frac{2 + 22}{3} = \frac{24}{3} = 8 \]

Buna göre, \(C\) noktasının koordinatları \(C(5, 8)\) olur.

Dıştan Bölme 🥳

Koordinatları \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olan bir doğru parçasını, \(C(x, y)\) noktası dıştan bölsün. Eğer \(|AC| / |CB| = k\) oranı verilmişse (ve \(k \neq 1\)), \(C\) noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

\[ x = \frac{x_1 - kx_2}{1-k} \] \[ y = \frac{y_1 - ky_2}{1-k} \]

Önemli Not: Dıştan bölme durumunda \(C\) noktası, \(A\) ve \(B\) noktalarının oluşturduğu doğru parçasının üzerinde değil, bu doğru parçasının uzantısı üzerindedir. Eğer \(k > 1\) ise \(C\) noktası \(B\) tarafında (A-B-C şeklinde), eğer \(k < 1\) ise \(C\) noktası \(A\) tarafında (C-A-B şeklinde) yer alır.

Örnek ✍️

Koordinatları \(A(1, 2)\) ve \(B(4, 5)\) olan doğru parçasını, \(|AC| / |CB| = 3\) oranında dıştan bölen \(C\) noktasının koordinatlarını bulalım.

• \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\)
• \(x_2 = 4\), \(y_2 = 5\)
• \(k = 3\)

Formülleri uygulayarak:

\[ x = \frac{1 - 3 \cdot 4}{1-3} = \frac{1 - 12}{-2} = \frac{-11}{-2} = \frac{11}{2} \] \[ y = \frac{2 - 3 \cdot 5}{1-3} = \frac{2 - 15}{-2} = \frac{-13}{-2} = \frac{13}{2} \]

Buna göre, \(C\) noktasının koordinatları \(C\left(\frac{11}{2}, \frac{13}{2}\right)\) olur.