🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(1, 2) ve B(4, 6) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 📏
Çözüm:
İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak çözüme ulaşalım:
- Noktalar: \( A(x_1, y_1) = (1, 2) \) ve \( B(x_2, y_2) = (4, 6) \)
- Uzaklık Formülü: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
- Değerleri Yerine Yazalım: \[ d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} \] \[ d = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 16} \] \[ d = \sqrt{25} \]
- Sonuç: \( d = 5 \) birimdir. ✅
Örnek 2:
Uç noktaları K(-2, 5) ve L(4, -3) olan [KL] doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.
- Formül: Orta nokta \( M(x, y) \) olsun. \[ x = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
- Apsis (x) Hesaplama: \[ x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
- Ordinat (y) Hesaplama: \[ y = \frac{5 + (-3)}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
- Sonuç: Orta noktanın koordinatları \( M(1, 1) \) noktasıdır. 🎯
Örnek 3:
Analitik düzlemde A(a, 3) ve B(2, -1) noktaları arasındaki uzaklık 5 birim olduğuna göre, a sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır? 🔍
Çözüm:
Uzaklık formülünü kurup verilen 5 birime eşitleyelim:
- Denklemi Kuralım: \[ \sqrt{(2 - a)^2 + (-1 - 3)^2} = 5 \]
- Her İki Yanın Karesini Alalım: \[ (2 - a)^2 + (-4)^2 = 5^2 \] \[ (2 - a)^2 + 16 = 25 \]
- Kareli İfadeyi Yalnız Bırakalım: \[ (2 - a)^2 = 9 \]
- Buradan iki durum çıkar: 1. \( 2 - a = 3 \Rightarrow a = -1 \) 2. \( 2 - a = -3 \Rightarrow a = 5 \)
- Değerler Toplamı: \( -1 + 5 = 4 \) bulunur. 💡
Örnek 4:
A(2, 1) ve B(12, 11) noktaları veriliyor. [AB] doğru parçasını içten bölen bir C noktası için \( \frac{AC}{CB} = \frac{2}{3} \) olduğuna göre, C noktasının koordinatlarını bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu tür sorularda artış miktarlarını oranlayarak çözüme gitmek en pratik yoldur.
- Toplam Oran: \( AC = 2k \) ve \( CB = 3k \) dersek, \( AB = 5k \) olur.
- Apsis (x) Değişimi: A'dan B'ye x değeri \( 12 - 2 = 10 \) artmış. \( 5k \) mesafede \( 10 \) artış varsa, \( k \) mesafede \( 2 \) artış olur. C noktası A'dan \( 2k \) uzaklıkta olduğuna göre: \( 2 \times 2 = 4 \) artış olmalı. \( x_C = 2 + 4 = 6 \)
- Ordinat (y) Değişimi: A'dan B'ye y değeri \( 11 - 1 = 10 \) artmış. \( 5k \) mesafede \( 10 \) artış varsa, \( k \) mesafede \( 2 \) artış olur. C noktası A'dan \( 2k \) uzaklıkta olduğuna göre: \( 2 \times 2 = 4 \) artış olmalı. \( y_C = 1 + 4 = 5 \)
- Sonuç: C noktasının koordinatları \( (6, 5) \) olarak bulunur. ✅
Örnek 5:
A(1, 3) ve B(3, 7) noktaları veriliyor. AB doğrusu üzerinde, [AB] doğru parçasının dışında bir C noktası alınıyor. \( \frac{AC}{BC} = 3 \) olduğuna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? 🧭
Çözüm:
C noktası dışta olduğu ve \( AC > BC \) olduğu için B noktası, A ile C arasındadır.
- Oranları Belirleyelim: \( AC = 3k \) ve \( BC = k \) ise \( AB = 2k \) olur.
- Apsis (x) Değişimi: A(1) noktasından B(3) noktasına \( 2k \) mesafede \( 2 \) artış olmuş. O halde \( k \) mesafede \( 1 \) artış olur. C noktası B'den \( k \) kadar ileride olduğuna göre: \( x_C = 3 + 1 = 4 \)
- Ordinat (y) Değişimi: A(3) noktasından B(7) noktasına \( 2k \) mesafede \( 4 \) artış olmuş. O halde \( k \) mesafede \( 2 \) artış olur. C noktası B'den \( k \) kadar ileride olduğuna göre: \( y_C = 7 + 2 = 9 \)
- Koordinatlar Toplamı: \( 4 + 9 = 13 \) bulunur. 🌟
Örnek 6:
Köşe koordinatları A(2, 4), B(5, 5) ve C(6, 8) olan bir ABCD paralelkenarının D köşesinin koordinatlarını bulunuz. 💎
Çözüm:
Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu da karşılıklı köşelerin koordinatları toplamının birbirine eşit olması demektir.
- Kural: \( x_A + x_C = x_B + x_D \) ve \( y_A + y_C = y_B + y_D \)
- Apsis (x) İçin: \[ 2 + 6 = 5 + x_D \] \[ 8 = 5 + x_D \Rightarrow x_D = 3 \]
- Ordinat (y) İçin: \[ 4 + 8 = 5 + y_D \] \[ 12 = 5 + y_D \Rightarrow y_D = 7 \]
- Sonuç: D noktasının koordinatları \( (3, 7) \) olur. 🚀
Örnek 7:
Bir şehir haritası dik koordinat sistemine aktarılmıştır. Bu haritada Park (10, 20) ve Kütüphane (70, 100) noktalarındadır. Bu iki noktanın tam ortasına bir Kafe yapılacaktır. Kafenin Park'a olan uzaklığı kaç birimdir? ☕
Çözüm:
Önce Kafenin koordinatlarını (orta nokta), sonra Park ile Kafe arasındaki uzaklığı bulalım.
- Kafe Koordinatları (M): \[ x = \frac{10 + 70}{2} = 40 \] \[ y = \frac{20 + 100}{2} = 60 \] Kafe \( (40, 60) \) noktasındadır.
- Park (10, 20) ile Kafe (40, 60) Arasındaki Uzaklık: \[ d = \sqrt{(40 - 10)^2 + (60 - 20)^2} \] \[ d = \sqrt{30^2 + 40^2} \] \[ d = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} \]
- Sonuç: Uzaklık \( 50 \) birimdir. 🌳
Örnek 8:
Bir doğa yürüyüşçüsü A(2, 3) noktasından başlayıp doğrusal bir yol boyunca B(14, 18) noktasına gitmektedir. Yolun \( \frac{1}{3} \)'ünü tamamladığında bir mola veriyor. Mola verdiği noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığı kaç birimdir? 🥾
Çözüm:
Önce mola noktasının (S) koordinatlarını bulalım, sonra bu noktanın \( (0,0) \) noktasına uzaklığını hesaplayalım.
- Mola Noktası (S) Koordinatları: Toplam yol \( AB \) olsun. Mola noktası \( S \), \( AS = \frac{1}{3} AB \) şartını sağlar. x değişimi: \( 14 - 2 = 12 \). Bunun \( \frac{1}{3} \)'ü: \( 12 \times \frac{1}{3} = 4 \). \( x_S = 2 + 4 = 6 \) y değişimi: \( 18 - 3 = 15 \). Bunun \( \frac{1}{3} \)'ü: \( 15 \times \frac{1}{3} = 5 \). \( y_S = 3 + 5 = 8 \) Mola noktası \( S(6, 8) \) olur.
- Orijine \( (0,0) \) Uzaklık: \[ d = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} \] \[ d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} \]
- Sonuç: Mola noktasının orijine uzaklığı \( 10 \) birimdir. 🏔️
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-sisteminde-iki-nokta-arasindaki-uzaklik-ve-bir-dogru-parcasini-belli-oranda-bolen-noktanin-koordinatlari/sorular