Dik koordinat sisteminde iki nokta arasındaki uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Ders Notu

📍 Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Analitik düzlemde herhangi iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak, Pisagor bağıntısının bir uygulamasıdır. Koordinatları \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) olan iki nokta arasındaki uzaklık \( |AB| \) ile gösterilir ve şu formül ile hesaplanır:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Bu formül, apsisler farkının karesi ile ordinatlar farkının karesinin toplamının kareköküdür. Uzaklık her zaman pozitif bir değerdir.

Örnek 1: Uzaklık Hesaplama

Analitik düzlemde \( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulalım.

• Apsisler farkı: \( 5 - 2 = 3 \)
• Ordinatlar farkı: \( 7 - 3 = 4 \)
• Uzaklık: \( \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birimdir.

🎯 Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Nokta

Bir doğru parçasını içten veya dıştan belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak için apsislerin ve ordinatların değişim oranına bakılır. \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarını birleştiren \( [AB] \) doğru parçasını \( \dfrac{|AC|}{|CB|} = k \) oranında içten bölen \( C(x, y) \) noktasının koordinatları şu şekilde bulunur:

\[ x = \frac{x_1 + k \times x_2}{1 + k} \] \[ y = \frac{y_1 + k \times y_2}{1 + k} \]

Eğer \( C \) noktası doğru parçasının orta noktası ise, yani \( k = 1 \) ise formül daha basit bir hal alır:

\[ x = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Örnek 2: Orta Nokta Uygulaması

Uç noktaları \( A(-4, 2) \) ve \( B(6, 8) \) olan \( [AB] \) doğru parçasının orta noktası olan \( M(x, y) \) noktasını bulalım.

• x koordinatı: \( \dfrac{-4 + 6}{2} = \dfrac{2}{2} = 1 \)
• y koordinatı: \( \dfrac{2 + 8}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 \)
• Orta nokta \( M(1, 5) \) olarak bulunur.

Örnek 3: Belli Oranda Bölme

Analitik düzlemde \( A(1, 2) \) ve \( B(7, 8) \) noktalarını birleştiren \( [AB] \) doğru parçasını \( \dfrac{|AC|}{|CB|} = 2 \) oranında içten bölen \( C(x, y) \) noktasını bulalım.

Burada \( k = 2 \) değerini formülde yerine koyalım:

• x koordinatı: \( \dfrac{1 + 2 \times 7}{1 + 2} = \dfrac{1 + 14}{3} = \dfrac{15}{3} = 5 \)
• y koordinatı: \( \dfrac{2 + 2 \times 8}{1 + 2} = \dfrac{2 + 16}{3} = \dfrac{18}{3} = 6 \)
• C noktasının koordinatları \( (5, 6) \) olur.

💡 Önemli Not: Bir doğru parçasını bölen noktayı bulurken apsislerin ve ordinatların artış miktarlarını ayrı ayrı oranlamak, formülü ezberlemek yerine mantığını kavramanıza yardımcı olur. Apsis 1'den 7'ye 6 birim artmışsa, 2'ye 1 oranında toplam 3 parçaya bölündüğünde her parça 2 birimlik artışa karşılık gelir.