💡 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölme Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız. 💡

• İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Verilen noktalar: \( A(x_1, y_1) = (3, 7) \) ve \( B(x_2, y_2) = (-1, 4) \)
• Değerleri formülde yerine yazalım:

\[ |AB| = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (4 - 7)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{16 + 9} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]
✅ Buna göre, \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Verilen uzaklık formülünü kullanarak \( a \) değerini bulalım. 📌

• Uzaklık formülü: \( |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Verilenler: \( A(2, a) \), \( B(5, -2) \) ve \( |AB| = 5 \)
• Formülde yerine yazalım:

\[ 5 = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - a)^2} \]

• Her iki tarafın karesini alalım:

\[ 5^2 = (5 - 2)^2 + (-2 - a)^2 \] \[ 25 = (3)^2 + (-(2 + a))^2 \] \[ 25 = 9 + (2 + a)^2 \]

• 9'u karşıya atalım:

\[ 25 - 9 = (2 + a)^2 \] \[ 16 = (2 + a)^2 \]

• Bu denklemi çözmek için her iki tarafın karekökünü alalım:

\[ \sqrt{16} = \sqrt{(2 + a)^2} \] \[ \pm 4 = 2 + a \]

• İki farklı durum ortaya çıkar:
• Durum 1: \( 4 = 2 + a \implies a_1 = 4 - 2 \implies a_1 = 2 \)
• Durum 2: \( -4 = 2 + a \implies a_2 = -4 - 2 \implies a_2 = -6 \)
• \( a \) değerlerinin toplamı: \( a_1 + a_2 = 2 + (-6) = -4 \)

✅ Buna göre, \( a \) değerinin alabileceği değerler toplamı -4'tür.

Orta nokta, bir doğru parçasını 1:1 oranında bölen noktadır. Bu özel durumu için orta nokta formülünü kullanırız. 👉

• Orta nokta formülü: \( M \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)
• Verilen noktalar: \( P(x_1, y_1) = (1, -3) \) ve \( R(x_2, y_2) = (7, 5) \)
• Formülde yerine yazalım:

\[ M_x = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ M_y = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
✅ Buna göre, \( PR \) doğru parçasının orta noktası \( (4, 1) \)'dir.

Bir doğru parçasını belli bir oranda içten bölen noktanın koordinatlarını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız. 💡

• İçten bölme formülü: \( C \left( \frac{n x_A + m x_B}{m + n}, \frac{n y_A + m y_B}{m + n} \right) \)
• Verilen noktalar: \( A(x_A, y_A) = (-2, 1) \) ve \( B(x_B, y_B) = (8, 6) \)
• Oran: \( m/n = 2/3 \), yani \( m = 2 \) ve \( n = 3 \)
• Formülde yerine yazalım:

\[ C_x = \frac{3 \cdot (-2) + 2 \cdot 8}{2 + 3} \] \[ C_x = \frac{-6 + 16}{5} \] \[ C_x = \frac{10}{5} = 2 \]
\[ C_y = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 6}{2 + 3} \] \[ C_y = \frac{3 + 12}{5} \] \[ C_y = \frac{15}{5} = 3 \]
✅ Buna göre, \( C \) noktasının koordinatları \( (2, 3) \)'tür.

Bir doğru parçasını belli bir oranda dıştan bölen noktanın koordinatlarını bulmak için formülü dikkatlice uygulamalıyız. 📌

• Dıştan bölme formülü (M noktası L'nin dışındaysa ve \( |KM|/|LM| = m/n \) ise): \( M \left( \frac{m x_L - n x_K}{m - n}, \frac{m y_L - n y_K}{m - n} \right) \)
• Verilen noktalar: \( K(x_K, y_K) = (1, 2) \) ve \( L(x_L, y_L) = (4, 5) \)
• Oran: \( |KM|/|LM| = 2 \), bu durumda \( m = 2 \) ve \( n = 1 \) olarak düşünebiliriz.
• Formülde yerine yazalım:

\[ M_x = \frac{2 \cdot 4 - 1 \cdot 1}{2 - 1} \] \[ M_x = \frac{8 - 1}{1} \] \[ M_x = 7 \]
\[ M_y = \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 2}{2 - 1} \] \[ M_y = \frac{10 - 2}{1} \] \[ M_y = 8 \]
✅ Buna göre, \( M \) noktasının koordinatları \( (7, 8) \)'dir.

Üçgenin çevresini bulmak için kenar uzunluklarını, yani noktalar arasındaki uzaklıkları hesaplamamız gerekir. 📏

• \( |AB| \) uzunluğunu hesaplayalım:

\[ |AB| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(1 + 3)^2 + (-3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

• \( |BC| \) uzunluğunu hesaplayalım:

\[ |BC| = \sqrt{(4 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} \] \[ |BC| = \sqrt{3^2 + (2 + 2)^2} \] \[ |BC| = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ |BC| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

• \( |AC| \) uzunluğunu hesaplayalım:

\[ |AC| = \sqrt{(4 - (-3))^2 + (2 - 1)^2} \] \[ |AC| = \sqrt{(4 + 3)^2 + 1^2} \] \[ |AC| = \sqrt{7^2 + 1^2} \] \[ |AC| = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

• Üçgenin çevresini bulalım:
• Çevre = \( |AB| + |BC| + |AC| \)
• Çevre = \( 5 + 5 + 5\sqrt{2} = 10 + 5\sqrt{2} \) birim.

✅ Buna göre, \( ABC \) üçgeninin çevresi \( 10 + 5\sqrt{2} \) birimdir.

Bu problemi çözmek için öncelikle harita üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklığı bulmalı, ardından bu uzaklığı gerçek mesafeye çevirmeliyiz. 🏞️

• Harita üzerindeki uzaklığı hesaplayalım:
• Noktalar: \( A(x_1, y_1) = (2, 3) \) ve \( B(x_2, y_2) = (10, 9) \)
• Uzaklık formülü: \( |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Değerleri formülde yerine yazalım:

\[ |AB| = \sqrt{(10 - 2)^2 + (9 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{8^2 + 6^2} \] \[ |AB| = \sqrt{64 + 36} \] \[ |AB| = \sqrt{100} \] \[ |AB| = 10 \text{ birim} \]

• Gerçek mesafeyi hesaplayalım:
• Harita üzerindeki 1 birim, gerçekte 100 metreyi temsil ediyor.
• Harita üzerindeki uzaklık 10 birim olduğuna göre, gerçek mesafe:
• Gerçek Mesafe = \( 10 \text{ birim} \times 100 \text{ metre/birim} = 1000 \text{ metre} \)

✅ Buna göre, parktan müzeye kuş uçuşu gerçek uzaklık 1000 metredir (yani 1 kilometredir).

Bu problemde \( C \) noktası, \( AB \) doğru parçasını içten bölen bir noktadır. Verilen oran \( |AC| = 2|CB| \) ise, bu oranı \( |AC|/|CB| = 2/1 \) olarak düşünebiliriz. Burada \( C \) noktası bilindiği için, \( B \) noktasını bulmak için içten bölme formülünü tersten kullanacağız veya koordinatlardaki değişimi oranlayarak bulabiliriz. 💡

• Verilenler: \( A(1, 4) \), \( C(7, 10) \) ve \( |AC|/|CB| = 2/1 \).
• Yani, \( A \) noktasından \( C \) noktasına kadar olan değişimin yarısı kadar bir değişim daha olursa \( B \) noktasına ulaşılır.
• x koordinatı için:
• \( A \)'dan \( C \)'ye x'teki değişim: \( \Delta x_{AC} = x_C - x_A = 7 - 1 = 6 \) birim.
• \( |AC| = 2|CB| \) olduğundan, \( C \)'den \( B \)'ye x'teki değişim \( \Delta x_{CB} \) bu değişimin yarısıdır: \( \Delta x_{CB} = \Delta x_{AC} / 2 = 6 / 2 = 3 \) birim.
• \( B \) noktasının x koordinatı: \( x_B = x_C + \Delta x_{CB} = 7 + 3 = 10 \)

• y koordinatı için:
• \( A \)'dan \( C \)'ye y'deki değişim: \( \Delta y_{AC} = y_C - y_A = 10 - 4 = 6 \) birim.
• \( C \)'den \( B \)'ye y'deki değişim \( \Delta y_{CB} \) bu değişimin yarısıdır: \( \Delta y_{CB} = \Delta y_{AC} / 2 = 6 / 2 = 3 \) birim.
• \( B \) noktasının y koordinatı: \( y_B = y_C + \Delta y_{CB} = 10 + 3 = 13 \)

✅ Buna göre, \( B \) noktasının koordinatları \( (10, 13) \)'tür.