Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölme Ders Notu

Dik koordinat sistemi, noktaların konumlarını sayı çiftleriyle belirlediğimiz temel bir matematiksel araçtır. Bu sistemde, iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamanın ve bir doğru parçasını belirli bir oranda bölmenin yöntemlerini öğreneceğiz.

Dik Koordinat Sistemi Nedir?

Birbirine dik iki sayı doğrusunun (x ekseni ve y ekseni) başlangıç noktalarında kesişmesiyle oluşan düzleme dik koordinat sistemi denir. Bu sistemde her nokta, bir sıralı ikili \( (x, y) \) ile temsil edilir.

İki Nokta Arasındaki Uzaklık Nasıl Hesaplanır? 📏

Dik koordinat sisteminde verilen iki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoremini kullanırız. Noktalar arasındaki yatay ve dikey farklar bir dik üçgenin dik kenarlarını oluşturur, uzaklık ise hipotenüstür.

Formül

A noktası \( (x_1, y_1) \) ve B noktası \( (x_2, y_2) \) olmak üzere, bu iki nokta arasındaki uzaklık \( |AB| \) aşağıdaki formülle bulunur:

\[ |AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Örnek 1

A\( (2, 3) \) ve B\( (5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

• \( x_1 = 2 \), \( y_1 = 3 \)
• \( x_2 = 5 \), \( y_2 = 7 \)

Formülü uygulayalım:

\[ |AB| = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ |AB| = \sqrt{9 + 16} \] \[ |AB| = \sqrt{25} \] \[ |AB| = 5 \]

Bu nedenle, A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölme ⚖️

Bir doğru parçasını, belirli bir oranda içten veya dıştan bölen bir noktanın koordinatlarını bulabiliriz. Bu, genellikle doğrusal interpolasyon veya ekstrapolasyon olarak adlandırılır.

1. İçten Bölme

A\( (x_1, y_1) \) ve B\( (x_2, y_2) \) noktaları arasında, doğru parçasını \( k \) oranında bölen bir C noktasının koordinatlarını bulmak için aşağıdaki formüller kullanılır. Burada \( \frac{|AC|}{|CB|} = k \) oranını sağlayan C noktası, A ve B arasındadır.

\[ C_x = \frac{x_1 + k \cdot x_2}{1 + k} \] \[ C_y = \frac{y_1 + k \cdot y_2}{1 + k} \]

Özel Durum: Orta Nokta

Bir doğru parçasının orta noktası, doğru parçasını 1 oranında (yani iki eşit parçaya) bölen noktadır. Bu durumda \( k=1 \) olur. Orta noktanın koordinatları \( M(x_m, y_m) \) şu şekildedir:

\[ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

Örnek 2

A\( (1, 2) \) ve B\( (7, 10) \) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.

Orta nokta formülünü uygulayalım:

\[ x_m = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ y_m = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

Orta nokta M\( (4, 6) \) dir.

Örnek 3

A\( (1, 5) \) ve B\( (9, 13) \) noktaları veriliyor. C noktası, \( |AC| = 3|CB| \) olacak şekilde AB doğru parçası üzerinde (içten) ise C noktasının koordinatlarını bulunuz.

Burada \( \frac{|AC|}{|CB|} = 3 \) yani \( k=3 \). İçten bölme formülünü kullanalım:

\[ C_x = \frac{x_1 + k \cdot x_2}{1 + k} = \frac{1 + 3 \cdot 9}{1 + 3} = \frac{1 + 27}{4} = \frac{28}{4} = 7 \] \[ C_y = \frac{y_1 + k \cdot y_2}{1 + k} = \frac{5 + 3 \cdot 13}{1 + 3} = \frac{5 + 39}{4} = \frac{44}{4} = 11 \]

C noktasının koordinatları C\( (7, 11) \) dir.

2. Dıştan Bölme

A\( (x_1, y_1) \) ve B\( (x_2, y_2) \) noktaları veriliyor. C noktası, AB doğru parçasının dışında ve \( \frac{|AC|}{|CB|} = k \) oranını sağlıyorsa, C noktasının koordinatları aşağıdaki formüllerle bulunur:

\[ C_x = \frac{x_1 - k \cdot x_2}{1 - k} \] \[ C_y = \frac{y_1 - k \cdot y_2}{1 - k} \]

Bu formüllerde \( k \neq 1 \) olmalıdır. Eğer \( k=1 \) olursa C noktası sonsuzda olur, çünkü A ile B arasında olması gerekir ki bu durumda C dıştan bölemez.

Örnek 4

A\( (2, 4) \) ve B\( (6, 8) \) noktaları veriliyor. C noktası, AB doğru parçasının dışında ve \( |AC| = 2|CB| \) olacak şekilde ise C noktasının koordinatlarını bulunuz.

Burada \( \frac{|AC|}{|CB|} = 2 \) yani \( k=2 \). Dıştan bölme formülünü kullanalım:

\[ C_x = \frac{x_1 - k \cdot x_2}{1 - k} = \frac{2 - 2 \cdot 6}{1 - 2} = \frac{2 - 12}{-1} = \frac{-10}{-1} = 10 \] \[ C_y = \frac{y_1 - k \cdot y_2}{1 - k} = \frac{4 - 2 \cdot 8}{1 - 2} = \frac{4 - 16}{-1} = \frac{-12}{-1} = 12 \]

C noktasının koordinatları C\( (10, 12) \) dir.