📄 10. Sınıf Matematik: Dik Koordinat Sisteminde İki Nokta Arasındaki Uzaklık Ve Bir Doğru Parçasını Belli Bir Oranda Bölme Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \(AB\) doğru parçasının orta noktasının \(M\) koordinatlarını bulalım.
Orta nokta formülü: \(M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\
\)x_M = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\
\)y_M = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3
Buna göre orta nokta \(M(-1, 3)\) dir.
Şimdi \(M(-1, 3)\) noktasının orijin \(O(0, 0)\) noktasına olan uzaklığını bulalım.
İki nokta arası uzaklık formülü: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\
\)OM = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (3 - 0)^2}\
\)OM = \sqrt{(-1)^2 + 3^2}\
\)OM = \sqrt{1 + 9}\
\)OM = \sqrt{10}\) birimdir.

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \(AB\) kenarının uzunluğunu bulalım:
\(AB = \sqrt{(7-1)^2 + (2-2)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6\) birim.
Üçgenin çevresi 18 birim olduğuna göre, \(AB + AC + BC = 18\).
\(6 + AC + BC = 18\)\
\(AC + BC = 12\) birim.
Soruda \(AC = BC\) olduğu belirtildiğine göre, \(AC = BC = \frac{12}{2} = 6\) birimdir.
Şimdi \(C(x, y)\) noktasının \(A(1, 2)\) ve \(B(7, 2)\) noktalarına olan uzaklıklarını 6 birime eşitleyelim:
\(AC^2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 = 6^2 = 36\) (Denklem 1)\
\(BC^2 = (x-7)^2 + (y-2)^2 = 6^2 = 36\) (Denklem 2)
Denklem 1 ve Denklem 2'yi birbirine eşitleyelim:
\((x-1)^2 + (y-2)^2 = (x-7)^2 + (y-2)^2\)\
\((x-1)^2 = (x-7)^2\)\
\(x^2 - 2x + 1 = x^2 - 14x + 49\)\
\(-2x + 1 = -14x + 49\)\
\(12x = 48\)\
\(x = 4\)
\(x=4\) değerini Denklem 1'de yerine yazalım:
\((4-1)^2 + (y-2)^2 = 36\)\
\(3^2 + (y-2)^2 = 36\)\
\(9 + (y-2)^2 = 36\)\
\((y-2)^2 = 27\)\
\(y-2 = \sqrt{27}\) veya \(y-2 = -\sqrt{27}\)\
\(y-2 = 3\sqrt{3}\) veya \(y-2 = -3\sqrt{3}\)\
\(y = 2 + 3\sqrt{3}\) veya \(y = 2 - 3\sqrt{3}\)
\(C\) noktasının koordinatları toplamı \(x+y\) isteniyor.
Olası koordinatlar toplamları: \(4 + (2 + 3\sqrt{3}) = 6 + 3\sqrt{3}\) veya \(4 + (2 - 3\sqrt{3}) = 6 - 3\sqrt{3}\) olabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen oran \(3|AC| = 5|CB|\) ise, bu oranı \(\frac{|AC|}{|CB|} = \frac{5}{3}\) şeklinde yazabiliriz.
Yani \(C\) noktası \(AB\) doğru parçasını \(m=5\) ve \(n=3\) oranında içten bölmektedir.
\(C\) noktasının koordinatlarını \((x_C, y_C)\) olarak alalım.
İçten bölme formülü: \(x_C = \frac{nx_A + mx_B}{m+n}\) ve \(y_C = \frac{ny_A + my_B}{m+n}\
\)x_C = \frac{3 \cdot (-3) + 5 \cdot 5}{3+5} = \frac{-9 + 25}{8} = \frac{16}{8} = 2\
\)y_C = \frac{3 \cdot 8 + 5 \cdot (-4)}{3+5} = \frac{24 - 20}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
Buna göre \(C\) noktasının koordinatları \(\left(2, \frac{1}{2}\right)\) dir.