🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Dik koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Dik koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Analitik düzlemde A(3, 5) ve B(7, 9) noktaları veriliyor.
Buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 💡
Buna göre, A ve B noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 💡
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü hatırlayalım: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
- Burada \( A(x_1, y_1) = (3, 5) \) ve \( B(x_2, y_2) = (7, 9) \) olarak alalım.
- Formülde yerine koyarsak: \( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (9 - 5)^2} \).
- Hesaplamaları yapalım: \( d = \sqrt{(4)^2 + (4)^2} \).
- \( d = \sqrt{16 + 16} \).
- \( d = \sqrt{32} \).
- \( \sqrt{32} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \).
Örnek 2:
Analitik düzlemde C(-2, 1) ve D(4, -7) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. 📌
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
- \( C(x_1, y_1) = (-2, 1) \) ve \( D(x_2, y_2) = (4, -7) \) olsun.
- Formülde değerleri yerine yazalım: \( d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-7 - 1)^2} \).
- İşlemleri yapalım: \( d = \sqrt{(4 + 2)^2 + (-8)^2} \).
- \( d = \sqrt{(6)^2 + (-8)^2} \).
- \( d = \sqrt{36 + 64} \).
- \( d = \sqrt{100} \).
- \( d = 10 \).
Örnek 3:
Analitik düzlemde E(1, 2) ve F(7, 10) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulunuz. 📍
Çözüm:
- Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları formülü: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \).
- Burada \( E(x_1, y_1) = (1, 2) \) ve \( F(x_2, y_2) = (7, 10) \) olarak alalım.
- Orta noktanın x koordinatını hesaplayalım: \( x_M = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).
- Orta noktanın y koordinatını hesaplayalım: \( y_M = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
Örnek 4:
G(5, -3) ve H(-1, 9) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktasının koordinatları nedir? 🧭
Çözüm:
- Orta nokta formülünü kullanacağız: \( M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \).
- \( G(x_1, y_1) = (5, -3) \) ve \( H(x_2, y_2) = (-1, 9) \) olarak alalım.
- x koordinatı: \( x_M = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
- y koordinatı: \( y_M = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).
Örnek 5:
Analitik düzlemde K(2, 4) ve L(8, 10) noktalarını birleştiren doğru parçasını, A noktası içten bölsün.
AK : AL = 1 : 3 oranı varsa, A noktasının koordinatlarını bulunuz. 📏
AK : AL = 1 : 3 oranı varsa, A noktasının koordinatlarını bulunuz. 📏
Çözüm:
- Bir doğru parçasını içten bölen noktanın koordinatları formülü: \( A\left(\frac{n x_1 + m x_2}{m+n}, \frac{n y_1 + m y_2}{m+n}\right) \).
- Burada \( K(x_1, y_1) = (2, 4) \) ve \( L(x_2, y_2) = (8, 10) \).
- Oran \( AK : AL = 1 : 3 \) verilmiş. Bu oran, A noktasının K'ye uzaklığının L'ye uzaklığına oranını ifade eder.
- Ancak soruda A noktasının K ve L'yi hangi oranda böldüğü belirtilmemiş. Soruyu "AK : KL = 1 : 3" olarak yorumlayalım. Bu durumda \( m=1 \) ve \( n=3 \) olur.
- A noktasının x koordinatı: \( x_A = \frac{3 \times 2 + 1 \times 8}{1+3} = \frac{6 + 8}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \).
- A noktasının y koordinatı: \( y_A = \frac{3 \times 4 + 1 \times 10}{1+3} = \frac{12 + 10}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} \).
Örnek 6:
M(-5, 1) ve N(7, 7) noktalarını birleştiren doğru parçasını, P noktası dıştan bölsün.
MP : NP = 2 : 1 oranı varsa, P noktasının koordinatlarını bulunuz. 🚀
MP : NP = 2 : 1 oranı varsa, P noktasının koordinatlarını bulunuz. 🚀
Çözüm:
- Bir doğru parçasını dıştan bölen noktanın koordinatları formülü: \( P\left(\frac{m x_2 - n x_1}{m-n}, \frac{m y_2 - n y_1}{m-n}\right) \).
- Burada \( M(x_1, y_1) = (-5, 1) \) ve \( N(x_2, y_2) = (7, 7) \).
- Oran \( MP : NP = 2 : 1 \) ise, \( m=2 \) ve \( n=1 \) olur.
- P noktasının x koordinatı: \( x_P = \frac{2 \times 7 - 1 \times (-5)}{2-1} = \frac{14 - (-5)}{1} = 14 + 5 = 19 \).
- P noktasının y koordinatı: \( y_P = \frac{2 \times 7 - 1 \times 1}{2-1} = \frac{14 - 1}{1} = 13 \).
Örnek 7:
Bir harita üzerinde K(10, 20) ve L(40, 80) koordinatlarında iki farklı nokta bulunmaktadır.
Bu iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafeyi (ölçek 1 birim = 1 km kabul edilerek) hesaplayınız. 🗺️
Bu iki nokta arasındaki kuş uçuşu mesafeyi (ölçek 1 birim = 1 km kabul edilerek) hesaplayınız. 🗺️
Çözüm:
- İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
- Burada \( K(x_1, y_1) = (10, 20) \) ve \( L(x_2, y_2) = (40, 80) \).
- Uzaklığı hesaplayalım: \( d = \sqrt{(40 - 10)^2 + (80 - 20)^2} \).
- \( d = \sqrt{(30)^2 + (60)^2} \).
- \( d = \sqrt{900 + 3600} \).
- \( d = \sqrt{4500} \).
- \( \sqrt{4500} \) ifadesini sadeleştirelim: \( \sqrt{900 \times 5} = 30\sqrt{5} \).
Örnek 8:
Bir robot, başlangıç noktası O(0, 0) olan bir alanda hareket etmektedir.
Robot önce A(6, 8) noktasına gidiyor, ardından A noktasından B(-3, 4) noktasına doğru hareket ediyor.
Robotun toplamda kaç birim yol aldığını hesaplayınız. 🤖
Robot önce A(6, 8) noktasına gidiyor, ardından A noktasından B(-3, 4) noktasına doğru hareket ediyor.
Robotun toplamda kaç birim yol aldığını hesaplayınız. 🤖
Çözüm:
- Robotun aldığı toplam yolu bulmak için iki ayrı mesafeyi hesaplamalıyız: O'dan A'ya ve A'dan B'ye olan mesafeler.
- 1. Mesafe: O(0, 0) ve A(6, 8) arasındaki uzaklık.
- Formül: \( d_{OA} = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) birim.
- 2. Mesafe: A(6, 8) ve B(-3, 4) arasındaki uzaklık.
- Formül: \( d_{AB} = \sqrt{(-3 - 6)^2 + (4 - 8)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-4)^2} = \sqrt{81 + 16} = \sqrt{97} \) birim.
- Robotun toplam aldığı yol: \( Toplam Yol = d_{OA} + d_{AB} = 10 + \sqrt{97} \) birim.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-dik-koordinat-duzleminde-iki-nokta-arasi-uzaklik-ve-bir-dogru-parcasini-belli-oranda-bolen-noktanin-koordinatlari/sorular