📝 10. Sınıf Matematik: Dik koordinat düzleminde iki nokta arası uzaklık ve bir doğru parçasını belli oranda bölen noktanın koordinatları Ders Notu
Dik koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak ve bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatlarını bulmak, analitik geometrinin temel konularındandır. Bu bilgiler, harita üzerindeki mesafeleri hesaplamaktan, mimari projelere kadar pek çok alanda karşımıza çıkar.
İki Nokta Arasındaki Uzaklık 📏
Analitik düzlemde verilen \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları arasındaki uzaklık, Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır. İki nokta arasındaki uzaklık \( d \) ile gösterilir.
Bu noktaları birleştiren doğru parçasını hipotenüs kabul eden bir dik üçgen oluşturduğumuzu düşünelim. Bu dik üçgenin dik kenarlarının uzunlukları, noktaların x ve y koordinatları arasındaki farklara eşittir.
- Yatay kenarın uzunluğu: \( |x_2 - x_1| \)
- Dikey kenarın uzunluğu: \( |y_2 - y_1| \)
Pisagor teoremine göre, hipotenüsün karesi dik kenarların kareleri toplamına eşittir:
\[ d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \]Her iki tarafın karekökü alındığında, iki nokta arasındaki uzaklık formülü elde edilir:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]Örnek 1:
\( A(2, 3) \) ve \( B(5, 7) \) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Burada \( x_1 = 2, y_1 = 3, x_2 = 5, y_2 = 7 \) değerlerini formülde yerine koyalım:
\[ d = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} \] \[ d = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} \] \[ d = \sqrt{9 + 16} \] \[ d = \sqrt{25} \] \[ d = 5 \]İki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.
Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları ➗
Analitik düzlemde \( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktaları verilsin. Bu doğru parçasını içten bölen \( C(x, y) \) noktasının koordinatlarını bulmak için aşağıdaki formüller kullanılır. Eğer \( C \) noktası, \( AC \) doğru parçasının uzunluğu \( m \) iken, \( CB \) doğru parçasının uzunluğu \( n \) olacak şekilde \( AB \) doğru parçasını bölüyorsa, yani \( \frac{AC}{CB} = \frac{m}{n} \) ise:
- \( x = \frac{nx_1 + mx_2}{m + n} \)
- \( y = \frac{ny_1 + my_2}{m + n} \)
Bu formüller, ağırlıklı ortalama mantığıyla düşünülebilir. Noktanın koordinatları, uç noktaların koordinatlarının, kendilerine uzaklıklarıyla ters orantılı ağırlıklarının ortalamasıdır.
Örnek 2:
\( A(-1, 2) \) ve \( B(5, 8) \) noktalarını birleştiren doğru parçasını, \( AC \) : \( CB \) = 1 : 2 oranında içten bölen \( C \) noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Burada \( x_1 = -1, y_1 = 2, x_2 = 5, y_2 = 8 \) ve \( m = 1, n = 2 \) değerlerini kullanacağız.
x koordinatı için:
\[ x = \frac{2 \cdot (-1) + 1 \cdot 5}{1 + 2} \] \[ x = \frac{-2 + 5}{3} \] \[ x = \frac{3}{3} \] \[ x = 1 \]y koordinatı için:
\[ y = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{1 + 2} \] \[ y = \frac{4 + 8}{3} \] \[ y = \frac{12}{3} \] \[ y = 4 \]Buna göre, \( C \) noktasının koordinatları \( (1, 4) \) olur.
Orta Nokta 📍
Eğer doğru parçası tam ortadan ikiye bölünüyorsa (oran 1:1 ise), yani \( m=n \) ise, bu nokta orta nokta olarak adlandırılır ve formüller basitleşir:
- \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} \)
- \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} \)
Örnek 3:
\( P(3, 5) \) ve \( Q(7, 1) \) noktalarının orta noktasının koordinatlarını bulunuz.
Çözüm:
Orta nokta formülünü kullanarak:
\[ x = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \] \[ y = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]Orta noktanın koordinatları \( (5, 3) \) olur.
Bu konu, analitik geometrinin temel taşlarından biridir ve ilerleyen konularda doğru denklemleri, vektörler gibi alanlarda da karşımıza çıkacaktır.